円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 8$, $BC = 5$, $CD = 3$, $\angle ABC = 60^\circ$である。 (1) 対角線ACの長さを求める。 (2) 辺ADの長さを求める。 (3) 円の半径を求める。 (4) 四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 8$, $BC = 5$, $CD = 3$, $\angle ABC = 60^\circ$である。

(1) 対角線ACの長さを求める。

(2) 辺ADの長さを求める。

(3) 円の半径を求める。

(4) 四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 対角線ACの長さを求める。

$\triangle ABC$において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos{\angle ABC}$

$AC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \times 8 \times 5 \times \cos{60^\circ}$

$AC^2 = 64 + 25 - 80 \times \frac{1}{2}$

$AC^2 = 89 - 40 = 49$

$AC = \sqrt{49} = 7$

(2) 辺ADの長さを求める。

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\triangle ADC$において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \times AD \times CD \times \cos{\angle ADC}$

$7^2 = AD^2 + 3^2 - 2 \times AD \times 3 \times \cos{120^\circ}$

$49 = AD^2 + 9 - 6 \times AD \times (-\frac{1}{2})$

$49 = AD^2 + 9 + 3AD$

$AD^2 + 3AD - 40 = 0$

$(AD + 8)(AD - 5) = 0$

$AD = -8$ または $AD = 5$

$AD > 0$より、$AD = 5$

(3) 円の半径を求める。

$\triangle ABC$において、正弦定理より

$\frac{AC}{\sin{\angle ABC}} = 2R$

$\frac{7}{\sin{60^\circ}} = 2R$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(4) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は$\triangle ABC$の面積と$\triangle ADC$の面積の和である。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin{\angle ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \times 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

$\triangle ADC = \frac{1}{2} \times AD \times CD \times \sin{\angle ADC} = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 \times \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \times 15 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

四角形ABCDの面積 = $10\sqrt{3} + \frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{40\sqrt{3} + 15\sqrt{3}}{4} = \frac{55\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 対角線ACの長さは 7 である。

(2) 辺ADの長さは 5 である。

(3) 円の半径は $\frac{7\sqrt{3}}{3}$ である。

(4) 四角形ABCDの面積は $\frac{55\sqrt{3}}{4}$ である。