一辺の長さが8cmの正三角形ABCがあり、辺BCの中点をDとする。また、BE=6cmである。 (i) 線分ADの長さを求める。 (ii) 線分AEの長さを求める。 (iii) 点Bから線分AEに垂線を下ろし、交点をHとするとき、線分BHの長さを求める。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

一辺の長さが8cmの正三角形ABCがあり、辺BCの中点をDとする。また、BE=6cmである。

(i) 線分ADの長さを求める。

(ii) 線分AEの長さを求める。

(iii) 点Bから線分AEに垂線を下ろし、交点をHとするとき、線分BHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(i) 線分ADの長さを求める。

三角形ABCは正三角形なので、ADは中線かつ高さとなる。

したがって、三角形ABDは直角三角形であり、三平方の定理が使える。

$AB^2 = AD^2 + BD^2$

$8^2 = AD^2 + 4^2$

$64 = AD^2 + 16$

$AD^2 = 48$

$AD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

(ii) 線分AEの長さを求める。

余弦定理を用いて三角形ABEについて考える。

$\angle ABE = 60^\circ$であるから、

$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2AB \cdot BE \cdot \cos{60^\circ}$

$AE^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$

$AE^2 = 64 + 36 - 48$

$AE^2 = 52$

$AE = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

(iii) 線分BHの長さを求める。

三角形ABEの面積を2通りの方法で表す。

まず、底辺をAE、高さをBHとすると、面積は$\frac{1}{2} AE \cdot BH$となる。

次に、面積は$\frac{1}{2} AB \cdot BE \cdot \sin{60^\circ}$とも表せる。

したがって、

$\frac{1}{2} AE \cdot BH = \frac{1}{2} AB \cdot BE \cdot \sin{60^\circ}$

$\frac{1}{2} 2\sqrt{13} \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{13} \cdot BH = 12\sqrt{3}$

$BH = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{39}}{13}$

3. 最終的な答え

(i) 線分ADの長さ: $4\sqrt{3}$ cm

(ii) 線分AEの長さ: $2\sqrt{13}$ cm

(iii) 線分BHの長さ: $\frac{12\sqrt{39}}{13}$ cm