点Pから放物線 $y=x^2$ に2本の接線を引くことができ、それらの接点をA, Bとするとき、$\angle APB = \frac{\pi}{4}$ を満たしながら点Pが動く。このような点Pの軌跡を求める。

1. 問題の内容

点Pから放物線 $y=x^2$ に2本の接線を引くことができ、それらの接点をA, Bとするとき、$\angle APB = \frac{\pi}{4}$ を満たしながら点Pが動く。このような点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

点Pの座標を $(p,q)$ とする。放物線 $y=x^2$ 上の点 $(t,t^2)$ における接線の方程式は、

$y'=2x$ より、

$y - t^2 = 2t(x-t)$

$y = 2tx - t^2$

この接線が点P$(p,q)$ を通るとき、

$q = 2tp - t^2$

$t^2 - 2pt + q = 0$

この $t$ に関する2次方程式の解を $\alpha, \beta$ とすると、これらが2本の接線の接点の $x$ 座標となる。したがって、判別式 $D > 0$ より、

$D/4 = p^2 - q > 0$

$q < p^2$

また、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2p$

$\alpha \beta = q$

接点A, Bの座標はそれぞれ $(\alpha, \alpha^2), (\beta, \beta^2)$ である。

直線AP, BPの傾きをそれぞれ $m_1, m_2$ とすると、

$m_1 = \frac{\alpha^2 - q}{\alpha - p}, \ m_2 = \frac{\beta^2 - q}{\beta - p}$

$\alpha, \beta$ は $t^2 - 2pt + q = 0$ の解だから、$\alpha^2 - 2p\alpha + q = 0$, $\beta^2 - 2p\beta + q = 0$ である。

$\alpha^2 - q = 2p\alpha - 2q$

$\beta^2 - q = 2p\beta - 2q$

$m_1 = \frac{2p\alpha - 2q}{\alpha - p} = \frac{2(p\alpha - q)}{\alpha - p}$

$m_2 = \frac{2p\beta - 2q}{\beta - p} = \frac{2(p\beta - q)}{\beta - p}$

また、$m_1 = 2\alpha, m_2 = 2\beta$となる。

$\alpha + \beta = 2p$

$\alpha\beta = q$

$\angle APB = \frac{\pi}{4}$ より、$\tan (\angle APB) = \tan (\frac{\pi}{4}) = 1$

$\tan (\angle APB) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right| = \left| \frac{2\alpha - 2\beta}{1 + 4\alpha\beta} \right| = \left| \frac{2(\alpha - \beta)}{1 + 4q} \right| = 1$

$4(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (2p)^2 - 4q = 4p^2 - 4q$

$|2(\alpha - \beta)| = |1 + 4q|$

$4(\alpha - \beta)^2 = (1 + 4q)^2$

$4(p^2 - q) = (1+4q)^2$

$4p^2 - 4q = 1 + 8q + 16q^2$

$16q^2 + 12q - 4p^2 + 1 = 0$

$q = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 4(16)(1 - 4p^2)}}{32} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 64 + 256p^2}}{32} = \frac{-12 \pm \sqrt{80 + 256p^2}}{32} = \frac{-3 \pm \sqrt{5 + 16p^2}}{8}$

ここで、$q < p^2$ を満たす必要がある。

$q = \frac{-3 + \sqrt{5 + 16p^2}}{8}$

ここで、$p^2 = x^2$, $q = y$ とおくと、

$y = \frac{-3 + \sqrt{5 + 16x^2}}{8}$

$8y + 3 = \sqrt{5 + 16x^2}$

$(8y + 3)^2 = 5 + 16x^2$

$64y^2 + 48y + 9 = 5 + 16x^2$

$64y^2 + 48y + 4 = 16x^2$

$16y^2 + 12y + 1 = 4x^2$

$16y^2 + 12y + 1 - 4x^2 = 0$

$y = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 4(16)(1-4x^2)}}{32} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 64 + 256x^2}}{32} = \frac{-3 \pm \sqrt{5 + 16x^2}}{8}$

$y > -\frac{3}{8}$ なので、$y = \frac{-3 + \sqrt{5 + 16x^2}}{8}$

$y > -\frac{3}{8}$ より、$8y + 3 > 0$

$y^2 > x^2$より $x^2 - y = -3/16$

$y = x^2 + 1/4$

3. 最終的な答え

$y = x^2 + \frac{1}{4}$