点Pから放物線 $y = x^2$ に2本の接線を引くことができ、接点をA, Bとするとき、$\angle APB = \frac{\pi}{4}$を満たしながら点Pが動く。このような点Pの軌跡を求める。

1. 問題の内容

点Pから放物線 $y = x^2$ に2本の接線を引くことができ、接点をA, Bとするとき、$\angle APB = \frac{\pi}{4}$を満たしながら点Pが動く。このような点Pの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を $(X, Y)$ とおく。

(2) 放物線 $y = x^2$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線を求める。接線の方程式は、

$y' = 2x$ より、

$y - t^2 = 2t(x - t)$

$y = 2tx - t^2$

(3) この接線が点P $(X, Y)$ を通る条件は、

$Y = 2tX - t^2$

$t^2 - 2Xt + Y = 0$

(4) このtに関する二次方程式が異なる2つの実数解を持つとき、点Pから放物線に2本の接線を引くことができる。判別式をDとすると、

$D/4 = X^2 - Y > 0$

$Y < X^2$

(5) $t^2 - 2Xt + Y = 0$ の2つの解を $t_1, t_2$ とすると、$t_1, t_2$ はそれぞれ点A, Bのx座標となる。

解と係数の関係より、

$t_1 + t_2 = 2X$

$t_1 t_2 = Y$

(6) 点A, Bの座標はそれぞれ $(t_1, t_1^2), (t_2, t_2^2)$ となる。

(7) 直線PA, PBの傾き $m_1, m_2$ はそれぞれ、

$m_1 = \frac{t_1^2 - Y}{t_1 - X} = \frac{t_1^2 - 2t_1X + t_1^2}{t_1 - X} = \frac{2t_1(t_1-X)}{t_1-X} = 2t_1$

$m_2 = \frac{t_2^2 - Y}{t_2 - X} = 2t_2$

(8) $\angle APB = \frac{\pi}{4}$ より、$\tan \angle APB = \tan \frac{\pi}{4} = 1$

$\left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = 1$

$\left| \frac{2t_1 - 2t_2}{1 + 4t_1 t_2} \right| = 1$

$\left| \frac{2(t_1 - t_2)}{1 + 4Y} \right| = 1$

$4(t_1 - t_2)^2 = (1 + 4Y)^2$

$4((t_1 + t_2)^2 - 4t_1 t_2) = (1 + 4Y)^2$

$4(4X^2 - 4Y) = (1 + 4Y)^2$

$16X^2 - 16Y = 1 + 8Y + 16Y^2$

$16Y^2 + 24Y - 16X^2 + 1 = 0$

$16Y^2 + 24Y + 9 = 16X^2 + 8$

$(4Y + 3)^2 = 16X^2 + 8$

$(4Y + 3)^2 - 16X^2 = 8$

(9) $Y < X^2$ より、$(X, Y)$ は放物線の内側にある必要がある。

また、$t_1, t_2$ が実数解を持つ必要があるので、$X^2 - Y > 0$

(10) 点Pの軌跡を求めるには、X, Yをx, yに置き換える。

$(4y + 3)^2 - 16x^2 = 8$

$(4y + 3)^2 = 16x^2 + 8$

$4y + 3 = \pm \sqrt{16x^2 + 8}$

$4y = -3 \pm \sqrt{16x^2 + 8}$

$y = \frac{-3 \pm \sqrt{16x^2 + 8}}{4}$

$y = \frac{-3 \pm 2\sqrt{4x^2 + 2}}{4}$

$y = \frac{-3 \pm \sqrt{4(4x^2 + 2)}}{4} = -\frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{8 + 16x^2}}{4}$

$y = -\frac{3}{4} \pm \frac{1}{2}\sqrt{2 + 4x^2}$

$\frac{4(4X^2 - 4Y)}{(1 + 4Y)^2} = 1$

(11) ここから，$y = x^2$ の内側にある条件を考えると，$y > -\frac{1}{4}$.よって$Y<X^2$となる。

条件を満たすのは $y = -\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{8 + 16x^2}}{4}$ のみ。

3. 最終的な答え

$y = -\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{16x^2 + 8}}{4} = -\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}\sqrt{8x^2 + 4}$

$y = -\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{4x^2 + 2}}{2}$