3点 $A(-1+i)$, $B(1-i)$, $C(-\sqrt{3} - \sqrt{3}i)$ を頂点とする三角形ABCはどのような三角形か。

1. 問題の内容

3点 $A(-1+i)$, $B(1-i)$, $C(-\sqrt{3} - \sqrt{3}i)$ を頂点とする三角形ABCはどのような三角形か。

2. 解き方の手順

三角形の種類を調べるために、各辺の長さを計算し、角度の関係を調べます。

まず、辺の長さを計算します。

$AB = |(1-i) - (-1+i)| = |2-2i| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$BC = |(-\sqrt{3}-\sqrt{3}i) - (1-i)| = |(-\sqrt{3}-1) + (-\sqrt{3}+1)i| = \sqrt{(-\sqrt{3}-1)^2 + (-\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3 + 2\sqrt{3} + 1 + 3 - 2\sqrt{3} + 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$CA = |(-1+i) - (-\sqrt{3}-\sqrt{3}i)| = |(-1+\sqrt{3}) + (1+\sqrt{3})i| = \sqrt{(-1+\sqrt{3})^2 + (1+\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 - 2\sqrt{3} + 3 + 1 + 2\sqrt{3} + 3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

全ての辺の長さが等しいので、$AB=BC=CA=2\sqrt{2}$。

したがって、三角形ABCは正三角形です。

3. 最終的な答え

正三角形