与えられた数学の問題は、以下の4つの小問から構成されています。 (1) 2点A(3, -1)とB(-2, 4)を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式を求める。 (2) 直線 $y = \frac{1}{2}x + 5$ と点C(-2, 2)との距離dを求める。 (3) 直線 $x = 6$ と点D(-1, -2)との距離dを求める。 (4) 傾きが-2で、点E(1, 3)との距離が$\sqrt{5}$である直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、以下の4つの小問から構成されています。

(1) 2点A(3, -1)とB(-2, 4)を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式を求める。

(2) 直線 $y = \frac{1}{2}x + 5$ と点C(-2, 2)との距離dを求める。

(3) 直線 $x = 6$ と点D(-1, -2)との距離dを求める。

(4) 傾きが-2で、点E(1, 3)との距離が$\sqrt{5}$である直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABの垂直二等分線の方程式を求める。

- 線分ABの中点を求める： $M = (\frac{3 + (-2)}{2}, \frac{-1 + 4}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

- 線分ABの傾きを求める： $m_{AB} = \frac{4 - (-1)}{-2 - 3} = \frac{5}{-5} = -1$

- 垂直二等分線の傾きは、線分ABの傾きの逆数の符号反転である： $m_{\perp} = - \frac{1}{-1} = 1$

- 中点Mを通り、傾き$m_{\perp}$の直線の方程式を求める：

$y - \frac{3}{2} = 1(x - \frac{1}{2})$

$y = x - \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

$y = x + 1$

(2) 直線 $y = \frac{1}{2}x + 5$ と点C(-2, 2)との距離dを求める。

- 直線の方程式を一般形に変形する：$\frac{1}{2}x - y + 5 = 0$、さらに2倍して $x - 2y + 10 = 0$

- 点と直線の距離の公式を用いる：

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

$d = \frac{|1 \cdot (-2) - 2 \cdot 2 + 10|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}}$

$d = \frac{|-2 - 4 + 10|}{\sqrt{1 + 4}}$

$d = \frac{|4|}{\sqrt{5}}$

$d = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

(3) 直線 $x = 6$ と点D(-1, -2)との距離dを求める。

- 直線は $x = 6$ なので、点Dから直線に下ろした垂線の足は(6, -2)となる。

- 距離dは、$d = |6 - (-1)| = |6 + 1| = 7$

(4) 傾きが-2で、点E(1, 3)との距離が$\sqrt{5}$である直線の方程式を求める。

- 求める直線の方程式を $y = -2x + b$ とおく。すなわち $2x + y - b = 0$

- 点E(1, 3)との距離が$\sqrt{5}$であるから、

$\sqrt{5} = \frac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 - b|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$

$\sqrt{5} = \frac{|2 + 3 - b|}{\sqrt{4 + 1}}$

$\sqrt{5} = \frac{|5 - b|}{\sqrt{5}}$

$5 = |5 - b|$

- $|5 - b| = 5$ より、$5 - b = 5$ または $5 - b = -5$

- $5 - b = 5$ のとき、$b = 0$。したがって、$y = -2x$

- $5 - b = -5$ のとき、$b = 10$。したがって、$y = -2x + 10$

3. 最終的な答え

(1) $y = x + 1$

(2) $d = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

(3) $d = 7$

(4) $y = -2x$ または $y = -2x + 10$