$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点 $P$ の位置ベクトル $\vec{OP}$ を $\vec{OA}$、$\vec{OB}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点 $P$ の位置ベクトル $\vec{OP}$ を $\vec{OA}$、$\vec{OB}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OC} = \frac{3}{5} \vec{OA}$、$\vec{OD} = \frac{1}{3} \vec{OB}$ である。

点 $P$ は線分 $AD$ 上にあるので、$s$ を実数として、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{OA} + \frac{s}{3}\vec{OB}$ と表せる。

また、点 $P$ は線分 $BC$ 上にあるので、$t$ を実数として、

$\vec{OP} = t\vec{OB} + (1-t)\vec{OC} = t\vec{OB} + (1-t)\frac{3}{5}\vec{OA} = \frac{3(1-t)}{5}\vec{OA} + t\vec{OB}$ と表せる。

$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ は一次独立なので、係数を比較して、

$1-s = \frac{3(1-t)}{5}$

$\frac{s}{3} = t$

この連立方程式を解く。

まず、$s = 3t$ を最初の式に代入すると、

$1-3t = \frac{3(1-t)}{5}$

$5(1-3t) = 3(1-t)$

$5 - 15t = 3 - 3t$

$2 = 12t$

$t = \frac{1}{6}$

$s = 3t = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$

よって、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + \frac{s}{3}\vec{OB} = (1-\frac{1}{2})\vec{OA} + \frac{1/2}{3}\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{6}\vec{OB}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{6}\vec{OB}$