円に内接する四角形ABCDと、点Cから引いた2本の直線CPとCQが与えられています。$\angle DQC = 29^\circ$、$\angle BPC = 73^\circ$のとき、$\angle DAB = \theta$を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDと、点Cから引いた2本の直線CPとCQが与えられています。$\angle DQC = 29^\circ$、$\angle BPC = 73^\circ$のとき、$\angle DAB = \theta$を求めよ。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、$\angle DBC = \angle DAB = \theta$。

* 円に内接する四角形の対角の和は180°であるから、$\angle BCD = 180^\circ - \theta$。

* $\angle BCP = 73^\circ$であるから、$\angle DCP = \angle BCD - \angle BCP = (180^\circ - \theta) - 73^\circ = 107^\circ - \theta$。

* $\angle DCQ = 29^\circ$である。

* 三角形DQCにおいて、$\angle CDQ = 180^\circ - \angle DQC - \angle DCQ = 180^\circ - 29^\circ - (107^\circ - \theta) = 44^\circ + \theta$。

* 円周角の定理より、$\angle CDQ = \angle CAQ$。したがって、$\angle CAB = 44^\circ + \theta$。

* 直線APとADは一本の直線であるはずなので、∠DAC+∠CAB=θという関係性になる。

* したがって、$\theta = \angle CAQ$ より、$θ = 44^\circ+ \theta$。これはおかしい。

* $\angle DBC = \angle DAC = \theta$

* 三角形BPCにおいて、外角定理より、$\angle BCD = \angle CBP + \angle BPC$。従って、$\angle CBP = 73^\circ - (180^\circ - \theta ) = \theta - 107^\circ$

* 三角形DQCにおいて、$\angle DCQ = 107^\circ - \theta$。

* よって、三角形CPQにおいて、$29^\circ + 73^\circ + \angle ACB = 180^\circ$。$\angle ACB= 78^\circ$

* 円周角定理より、$\angle ACB = \angle ADB = 78^\circ$

* 三角形ADQにおいて$29^\circ + \theta + \angle AQD = 180^\circ$ より、$\angle AQD = 78^\circ$

* 円周角より、θ=73+29=102°

3. 最終的な答え

102°