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1. 問題の内容
与えられた図形において、角度 の値を求める問題です。図形は2つあり、それぞれに対して を求める必要があります。
* **(1)の図:** 円周上に点A, B, C, Dがあり、円外に点P, Qがある。, 。 を求めます。
* **(2)の図:** 円の中心がO, 円周上に点A, B, Sがある。円の接線STがあり、。 を求めます。
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2. 解き方の手順
**(1)の図:**
1. 四角形ABCDは円に内接しているので、$\angle BCD = 180^\circ - \theta$。
2. $\angle BCP = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ$。
3. $\angle DCQ = 29^\circ$。
4. $\angle BCD = \angle BCP + \angle PCD = 107^\circ + \angle PCD$。
5. $\angle PCD = 180^\circ - \theta - 107^\circ = 73^\circ - \theta$。
6. $\angle QCD = \angle PCD + \angle DCQ = 73^\circ - \theta + 29^\circ = 102^\circ - \theta$。
7. 四角形BPCQにおいて, $\angle BPC + \angle BQC = 180^{\circ}$. よって、$\angle BQC = 180^{\circ} - 73^{\circ} = 107^{\circ}$.
8. 四角形ABQDにおいて、$\angle BAQ + \angle BDQ = 180^{\circ}$.
9. 弧BCに対する円周角の定理より$\angle BAC = \angle BDC = \theta$. よって $\angle BDC = \theta$.
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0. $\angle BDQ = \angle BDC + \angle CDQ = \theta + 29^{\circ}$.
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1. 四角形ABPCにおいて, $\angle ABP + \angle ACP = 180^{\circ}$.
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2. $\angle BCP + \angle QCD + \angle DCB = 180^{\circ} \iff 107^{\circ} + 29^{\circ} - \theta = 180^{\circ}$.
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3. 円に内接する四角形の対角の和は$180^{\circ}$である。
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4. $\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC$
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5. $\angle ABC + \angle APC + \angle BAQ + \angle QCD = 360^{\circ}$.
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6. $\angle CPD = 180^{\circ} - (73^{\circ} + 29^{\circ}) = 78^{\circ}$.
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7. $\angle BAC = \theta = 73^\circ - 29^\circ = 44^\circ$。
**(2)の図:**
1. 接線と円の半径は接点で垂直に交わるので、$\angle OSA = 90^\circ$。
2. $\triangle OSA$ において、$\angle SOA = 90^\circ - 56^\circ = 34^\circ$。
3. $\triangle AOB$ において、$OA = OB$ (円の半径)なので、$\triangle AOB$ は二等辺三角形。
4. $\angle OAB = \angle OBA$。
5. $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$。
6. $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - \theta)/2$。
7. 円周角の定理より $\theta = 2 \times 56^{\circ} = 112^\circ$
8. $\theta = 2 \angle SOA = 2 \times 34^\circ = 68^\circ$.
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3. 最終的な答え
(1)
(2)