$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。 線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点 $P$ の位置ベクトル $\vec{OP}$ を $\vec{OA}$、$\vec{OB}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とする。

線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点 $P$ の位置ベクトル $\vec{OP}$ を $\vec{OA}$、$\vec{OB}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

交点 $P$ は線分 $AD$ 上にあるので、$s$ を実数として

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{OA} + \frac{s}{3}\vec{OB}$

と表せる。

また、交点 $P$ は線分 $BC$ 上にあるので、$t$ を実数として

$\vec{OP} = t\vec{OC} + (1-t)\vec{OB} = \frac{3t}{5}\vec{OA} + (1-t)\vec{OB}$

と表せる。

$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{3t}{5}$ かつ $\frac{s}{3} = 1-t$

これらの式を連立して解く。

まず、2つ目の式より $s = 3 - 3t$

これを1つ目の式に代入して

$1 - (3 - 3t) = \frac{3t}{5}$

$-2 + 3t = \frac{3t}{5}$

$15t - 3t = 10$

$12t = 10$

$t = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

よって $s = 3 - 3(\frac{5}{6}) = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\vec{OP} = (1-\frac{1}{2})\vec{OA} + \frac{1/2}{3}\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{6}\vec{OB}$

あるいは

$\vec{OP} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{6} \vec{OA} + (1 - \frac{5}{6}) \vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{6}\vec{OB}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{6}\vec{OB}$