直線 $OP$ と線分 $AB$ の交点 $Q$ の位置ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ を、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す問題です。ただし、$A$, $B$, $P$ は同一直線上にないものとします。

1. 問題の内容

直線 $OP$ と線分 $AB$ の交点 $Q$ の位置ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ を、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表す問題です。ただし、$A$, $B$, $P$ は同一直線上にないものとします。

2. 解き方の手順

(1) 点 $Q$ は直線 $OP$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて、

$\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OP}$

と表すことができます。

(2) 点 $Q$ は線分 $AB$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて、

$\overrightarrow{AQ} = s\overrightarrow{AB}$

と表すことができます。

(3) $\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AQ}$ であるから、(2)の結果を用いて、

$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OA} + s(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})$

$\overrightarrow{OQ} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB}$

と表すことができます。

(4) 点 $A$, $B$, $P$ は同一直線上にないため、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は一次独立です。したがって、(1)の結果 $\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OP}$ と(3)の結果 $\overrightarrow{OQ} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB}$ より、

$k\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB}$

となるためには、$\overrightarrow{OP}$ は $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ の線形結合で表される必要があります。つまり、$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$となる実数 $m$, $n$ が存在すると仮定できるため、

$k(m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB}) = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB}$

が成立します。$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$が一次独立であることから，

$km = 1 - s$

$kn = s$

が成立します。

これらより、$km + kn = 1$、つまり、$k(m+n) = 1$ が得られます。よって、$k = \frac{1}{m+n}$ となります。

(5) $\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{OP}$ であり、$k = \frac{1}{m+n}$ であるから、

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{m+n}\overrightarrow{OP}$

ここで、$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$　なので、

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{m+n} (m\overrightarrow{OA} + n\overrightarrow{OB})$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{m}{m+n}\overrightarrow{OA} + \frac{n}{m+n}\overrightarrow{OB}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OQ} = \frac{m}{m+n}\overrightarrow{OA} + \frac{n}{m+n}\overrightarrow{OB}$ （ただし、$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$）