$\triangle OAB$ において、$OA = \sqrt{10}, OB = 2, AB = 4$ である。点 $O$ から辺 $AB$ に下ろした垂線を $OH$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$ とおくとき、$\vec{OH}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$OA = \sqrt{10}, OB = 2, AB = 4$ である。点 $O$ から辺 $AB$ に下ろした垂線を $OH$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}$ とおくとき、$\vec{OH}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AB}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表します。

$$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$$

次に、$\vec{AH} = k\vec{AB}$ となる実数 $k$ を用いて $\vec{OH}$ を表します。

$$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{AH} = \vec{a} + k(\vec{b} - \vec{a}) = (1-k)\vec{a} + k\vec{b}$$

$OH \perp AB$ より、$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$ なので、

$$((1-k)\vec{a} + k\vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$$

$$(1-k)\vec{a} \cdot \vec{b} - (1-k)|\vec{a}|^2 + k|\vec{b}|^2 - k\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

$$(1-2k)\vec{a} \cdot \vec{b} - (1-k)|\vec{a}|^2 + k|\vec{b}|^2 = 0$$

ここで、$|\vec{a}| = \sqrt{10}, |\vec{b}| = 2$ である。また、$|\vec{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2$ なので、$4^2 = 2^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + (\sqrt{10})^2$ となり、

$16 = 4 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 10$ より、$2\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$ なので、$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ となる。

$$(1-2k)(-1) - (1-k)(10) + k(4) = 0$$

$$-1 + 2k - 10 + 10k + 4k = 0$$

$$16k = 11$$

$$k = \frac{11}{16}$$

よって、

$$\vec{OH} = (1-\frac{11}{16})\vec{a} + \frac{11}{16}\vec{b} = \frac{5}{16}\vec{a} + \frac{11}{16}\vec{b}$$

3. 最終的な答え

$\vec{OH} = \frac{5}{16}\vec{a} + \frac{11}{16}\vec{b}$