(1) 2点A(-1, 0), B(3, 0) からの距離の比が1:3である点Pの軌跡を求める。 (2) 2点A(4, 0), B(0, -4) と放物線 $y = x^2$ 上の動点Qとでできる$\triangle ABQ$の重心Gの軌跡を求める。

1. 問題の内容

(1) 2点A(-1, 0), B(3, 0) からの距離の比が1:3である点Pの軌跡を求める。

(2) 2点A(4, 0), B(0, -4) と放物線 $y = x^2$ 上の動点Qとでできる$\triangle ABQ$の重心Gの軌跡を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を$(x, y)$とおく。AP:BP=1:3より、3AP=BPである。

$3\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$

両辺を2乗して、

$9((x+1)^2 + y^2) = (x-3)^2 + y^2$

$9(x^2 + 2x + 1 + y^2) = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$9x^2 + 18x + 9 + 9y^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$8x^2 + 24x + 8y^2 = 0$

$x^2 + 3x + y^2 = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + y^2 = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 + y^2 = \frac{9}{4}$

これは、中心$(-\frac{3}{2}, 0)$, 半径$\frac{3}{2}$の円を表す。

(2) 点Qの座標を$(t, t^2)$とおく。重心Gの座標を$(x, y)$とおくと、

$x = \frac{4 + 0 + t}{3} = \frac{4 + t}{3}$

$y = \frac{0 - 4 + t^2}{3} = \frac{-4 + t^2}{3}$

$t = 3x - 4$

$3y = -4 + (3x - 4)^2$

$3y = -4 + 9x^2 - 24x + 16$

$3y = 9x^2 - 24x + 12$

$y = 3x^2 - 8x + 4$

3. 最終的な答え

(1) 中心$(-\frac{3}{2}, 0)$, 半径$\frac{3}{2}$の円

(2) $y = 3x^2 - 8x + 4$