ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 0)$ と $\vec{b} = (1, 1, 1)$ が与えられたとき、以下の値を求めよ。ただし、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とし、$0 \le \theta \le \pi$ とする。 (a) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (b) $\theta$ (c) $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ (d) $\vec{a} \times \vec{b}$ (e) $(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{b})$ (b)については逆三角関数を用いて答えを表し、さらに電卓を用いて有効数字4桁で値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 0)$ と $\vec{b} = (1, 1, 1)$ が与えられたとき、以下の値を求めよ。ただし、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とし、$0 \le \theta \le \pi$ とする。

(a) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(b) $\theta$

(c) $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

(d) $\vec{a} \times \vec{b}$

(e) $(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{b})$

(b)については逆三角関数を用いて答えを表し、さらに電卓を用いて有効数字4桁で値を求める。

2. 解き方の手順

(a) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は、各成分の積の和で計算する。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (1)(1) + (0)(1) = 2 + 1 + 0 = 3$

(b) $\theta$ は、$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ から求める。

まず $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ を計算する。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

よって、$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{5} \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

$\theta = \arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$

電卓で計算すると、$\theta \approx 0.9069$ (ラジアン)

(c) $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$ である。

$|\vec{a}|^2 = 5$, $|\vec{b}|^2 = 3$ であるから、

$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 5 - 3 = 2$

(d) 外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ は以下のように計算する。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1) - (0)(1) \\ (0)(1) - (2)(1) \\ (2)(1) - (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(e) $(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b} = \vec{0} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{0} = 2 (\vec{a} \times \vec{b})$

$(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{b}) = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(a) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

(b) $\theta = \arccos \frac{\sqrt{15}}{5} \approx 0.9069$

(c) $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 2$

(d) $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(e) $(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{b}) = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$