立方体 ABCD-EFGH において、ベクトルを利用して線分 EC と線分 FC のなす角 $\theta$ を求める。ただし、$0 \le \theta \le \pi$ とする。$\theta$ は逆三角関数を用いて表し、さらに関数電卓を用いて計算し、有効数字4桁で値を併記する。

1. 問題の内容

立方体 ABCD-EFGH において、ベクトルを利用して線分 EC と線分 FC のなす角 $\theta$ を求める。ただし、$0 \le \theta \le \pi$ とする。$\theta$ は逆三角関数を用いて表し、さらに関数電卓を用いて計算し、有効数字4桁で値を併記する。

2. 解き方の手順

立方体の辺の長さを 1 とし、点Aを原点として、$\vec{AB} = \vec{b} = (1, 0, 0)$, $\vec{AD} = \vec{d} = (0, 1, 0)$, $\vec{AE} = \vec{e} = (0, 0, 1)$ とする。

このとき、

$\vec{AC} = \vec{b} + \vec{d} = (1, 1, 0)$

$\vec{EC} = \vec{AC} - \vec{AE} = \vec{b} + \vec{d} - \vec{e} = (1, 1, -1)$

$\vec{FC} = \vec{AC} - \vec{AF} = \vec{b} + \vec{d} - \vec{e} - \vec{b} = \vec{d} - \vec{e} = (0, 1, -1)$

したがって、$\vec{EC} \cdot \vec{FC} = |\vec{EC}||\vec{FC}| \cos \theta$ より

$\cos \theta = \frac{\vec{EC} \cdot \vec{FC}}{|\vec{EC}||\vec{FC}|}$

$\vec{EC} \cdot \vec{FC} = (1, 1, -1) \cdot (0, 1, -1) = 0 \times 1 + 1 \times 1 + (-1) \times (-1) = 0 + 1 + 1 = 2$

$|\vec{EC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

$|\vec{FC}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$

$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{3} \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\theta = \arccos (\frac{\sqrt{6}}{3})$

$\theta \approx 0.3876$ ラジアン

$\theta \approx 48.19$ 度

3. 最終的な答え

$\theta = \arccos (\frac{\sqrt{6}}{3}) \approx 0.3876$ (ラジアン)