(1) 直線 $y = mx + n$ が楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ に接するための条件を $m, n$ を用いて表す。 (2) 楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ の直交する2つの接線の交点の軌跡を求める。

1. 問題の内容

(1) 直線 $y = mx + n$ が楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ に接するための条件を $m, n$ を用いて表す。

(2) 楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ の直交する2つの接線の交点の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $y = mx + n$ を楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ の式に代入する。

$x^2 + \frac{(mx + n)^2}{4} = 1$

$4x^2 + (mx + n)^2 = 4$

$4x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 = 4$

$(4 + m^2)x^2 + 2mnx + n^2 - 4 = 0$

この2次方程式が重解を持つとき、直線は楕円に接する。判別式 $D = 0$ となる条件を求める。

$D = (2mn)^2 - 4(4 + m^2)(n^2 - 4) = 0$

$4m^2n^2 - 4(4n^2 - 16 + m^2n^2 - 4m^2) = 0$

$m^2n^2 - 4n^2 + 16 - m^2n^2 + 4m^2 = 0$

$-4n^2 + 16 + 4m^2 = 0$

$4n^2 = 4m^2 + 16$

$n^2 = m^2 + 4$

(2) 2つの直交する接線を $y = m_1x + n_1$ と $y = m_2x + n_2$ とする。

$m_1 m_2 = -1$ である。

(1)の結果より、 $n_1^2 = m_1^2 + 4$ および $n_2^2 = m_2^2 + 4$ が成り立つ。

2つの直線の交点を $(x, y)$ とすると、

$y = m_1x + n_1$ かつ $y = m_2x + n_2$

$n_1 = y - m_1x$ および $n_2 = y - m_2x$

$(y - m_1x)^2 = m_1^2 + 4$

$(y - m_2x)^2 = m_2^2 + 4$

$m_1^2x^2 - 2xym_1 + y^2 = m_1^2 + 4$

$m_2^2x^2 - 2xym_2 + y^2 = m_2^2 + 4$

$m_1^2(x^2 - 1) - 2xym_1 + y^2 - 4 = 0$

$m_2^2(x^2 - 1) - 2xym_2 + y^2 - 4 = 0$

$m_1$ と $m_2$ はこの2次方程式の解であるから、解と係数の関係より、

$m_1 m_2 = \frac{y^2 - 4}{x^2 - 1} = -1$

$y^2 - 4 = -x^2 + 1$

$x^2 + y^2 = 5$

3. 最終的な答え

(1) $n^2 = m^2 + 4$

(2) $x^2 + y^2 = 5$