点A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, -1)が与えられている。平面ABCに原点Oから垂線OHを下ろすとき、点Hの座標と線分OHの長さを求める。

1. 問題の内容

点A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, -1)が与えられている。平面ABCに原点Oから垂線OHを下ろすとき、点Hの座標と線分OHの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、ベクトルOHをベクトルOA, ベクトルAB, ベクトルACを用いて表す。

ベクトルAHは、実数s, tを用いて次のように表せる。

$\vec{AH} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$

$\vec{OH} - \vec{OA} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$

$\vec{OH} = \vec{OA} + s\vec{AB} + t\vec{AC}$

ここで、$\vec{OA} = (1, 0, 0)$, $\vec{AB} = (-1, 2, 0)$, $\vec{AC} = (-1, 0, -1)$であるから、

$\vec{OH} = (1, 0, 0) + s(-1, 2, 0) + t(-1, 0, -1)$

$\vec{OH} = (1 - s - t, 2s, -t)$

OHは平面ABCに垂直であるから、$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$かつ$\vec{OH} \cdot \vec{AC} = 0$が成り立つ。

まず、$\vec{OH} \cdot \vec{AB} = 0$より、

$(1 - s - t, 2s, -t) \cdot (-1, 2, 0) = 0$

$-(1 - s - t) + 4s = 0$

$-1 + s + t + 4s = 0$

$5s + t = 1$

次に、$\vec{OH} \cdot \vec{AC} = 0$より、

$(1 - s - t, 2s, -t) \cdot (-1, 0, -1) = 0$

$-(1 - s - t) + t = 0$

$-1 + s + t + t = 0$

$s + 2t = 1$

連立方程式

$5s + t = 1$

$s + 2t = 1$

を解く。

$t = 1 - 5s$を$s + 2t = 1$に代入すると、

$s + 2(1 - 5s) = 1$

$s + 2 - 10s = 1$

$-9s = -1$

$s = \frac{1}{9}$

$t = 1 - 5s = 1 - 5(\frac{1}{9}) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

したがって、$\vec{OH} = (1 - \frac{1}{9} - \frac{4}{9}, 2(\frac{1}{9}), -\frac{4}{9}) = (\frac{4}{9}, \frac{2}{9}, -\frac{4}{9})$

Hの座標は$(\frac{4}{9}, \frac{2}{9}, -\frac{4}{9})$

$|\vec{OH}| = \sqrt{(\frac{4}{9})^2 + (\frac{2}{9})^2 + (-\frac{4}{9})^2} = \sqrt{\frac{16}{81} + \frac{4}{81} + \frac{16}{81}} = \sqrt{\frac{36}{81}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

Hの座標: $(\frac{4}{9}, \frac{2}{9}, -\frac{4}{9})$

OHの長さ: $\frac{2}{3}$