三角形ABCにおいて、$a=4$, $∠A = 45^\circ$, $∠B = 105^\circ$, $∠C = 30^\circ$ のとき、辺cの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=4$, $∠A = 45^\circ$, $∠B = 105^\circ$, $∠C = 30^\circ$ のとき、辺cの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて、辺cの長さを求めます。

正弦定理は、三角形ABCにおいて、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$が成り立つという定理です。

今回は、$a$と$∠A$, $∠C$がわかっているので、$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$を利用します。

まず、正弦定理の式にそれぞれの値を代入します。

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{c}{\sin 30^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{c}{\frac{1}{2}}$

$\frac{8}{\sqrt{2}} = 2c$

$c = \frac{4}{\sqrt{2}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{2}$をかけます。

$c = \frac{4\sqrt{2}}{2}$

$c = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$c = 2\sqrt{2}$