$\sin \theta = \frac{2}{5}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める問題です。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$であり、答えは有理化されたものである必要があります。

1. 問題の内容

$\sin \theta = \frac{2}{5}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める問題です。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$であり、答えは有理化されたものである必要があります。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という三角関数の基本的な恒等式を利用します。

$\sin \theta = \frac{2}{5}$ なので、これを代入すると、

$(\frac{2}{5})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{4}{25} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

ここで、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$という条件を考慮します。この範囲では$\cos \theta$は負の値を取るので、

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{21}}{5}$

次に、$\tan \theta$の値を求めます。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$なので、

$\tan \theta = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = \frac{2}{5} \times (-\frac{5}{\sqrt{21}}) = -\frac{2}{\sqrt{21}}$

答えを有理化する必要があるので、分母と分子に$\sqrt{21}$をかけます。

$\tan \theta = -\frac{2}{\sqrt{21}} \times \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}} = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{21}}{5}$

$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{21}}{21}$