$\tan \theta = -\frac{2}{3}$ のとき、 $90^\circ < \theta \le 180^\circ$ の条件下で $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。答えは有理化された形で答える必要があります。

1. 問題の内容

$\tan \theta = -\frac{2}{3}$ のとき、 $90^\circ < \theta \le 180^\circ$ の条件下で $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。答えは有理化された形で答える必要があります。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であり、また $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という関係式を利用します。

まず、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ の関係式から $\cos \theta$ を求めます。

$\tan \theta = -\frac{2}{3}$ なので、

$1 + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + \frac{4}{9} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{13}{9} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{9}{13}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{9}{13}} = \pm \frac{3}{\sqrt{13}} = \pm \frac{3\sqrt{13}}{13}$

$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ の範囲では、$\cos \theta$ は負の値をとるので、

$\cos \theta = -\frac{3\sqrt{13}}{13}$

次に、$\sin \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より、

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta$

$\sin \theta = \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3\sqrt{13}}{13}\right)$

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

$\cos \theta = -\frac{3\sqrt{13}}{13}$