三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABをAQ:QC = 1:2、AR:RB = 1:2の比に内分するとき、線分BOとOQの比を求める問題です。つまり、$BO:OQ$を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AC, ABをAQ:QC = 1:2、AR:RB = 1:2の比に内分するとき、線分BOとOQの比を求める問題です。つまり、$BO:OQ$を求めます。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用します。

三角形ACQと直線BRに着目すると、メネラウスの定理より

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$$

問題文より、$AR:RB = 1:2$、すなわち$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{2}$です。

また、$AQ:QC = 1:2$より、$QC:AC = 2:3$、すなわち$\frac{QC}{CA} = \frac{2}{3}$です。

これらの値をメネラウスの定理の式に代入すると、

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{2}{3} = 1$$

$$\frac{BO}{OQ} \cdot \frac{1}{3} = 1$$

$$\frac{BO}{OQ} = 3$$

したがって、$BO:OQ = 3:1$となります。

3. 最終的な答え

BO:OQ = 3:1