三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを2:3に、点Rは辺BCを1:3に内分するとき、線分AOと線分ORの比 $AO:OR$ を求める問題です。ただし、点Oは線分AQと線分CRの交点です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを2:3に、点Rは辺BCを1:3に内分するとき、線分AOと線分ORの比 $AO:OR$ を求める問題です。ただし、点Oは線分AQと線分CRの交点です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を用いることで解けます。

まず、チェバの定理を用いて、線分BP:PCを求めます。（点Pは線分AOと線分BCの交点です。）チェバの定理より、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = 2$

よって、$AP:PC = 1:2$。したがって、$BC:PC=4:2$より、$BP:PC=2:2=1:1$

次に、メネラウスの定理を三角形BCRと直線APに関して用いると、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AO} \cdot \frac{OQ}{QB} = 1$

ここで、$BP=PC$, $AQ=3$, $QB=2$ であるから、$AB=AQ+QB=3+2=5$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{CA}{AO} \cdot \frac{OQ}{5}= 1$

$AR = \frac{AO}{OC}=AR$

次にメネラウスの定理を三角形ABRと直線COに関して用いると、

$\frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$

$\frac{4}{3} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

よって、$AO:OR=2:1$

3. 最終的な答え

$AO:OR = 2:1$