三角形ABCにおいて、点Qが辺ACを1:2に内分し、点Rが辺ABを2:1に内分するとき、線分COとORの比CO:ORを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qが辺ACを1:2に内分し、点Rが辺ABを2:1に内分するとき、線分COとORの比CO:ORを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理またはメネラウスの定理を利用して解くことができます。ここではメネラウスの定理を使って解きます。

三角形ABOと直線RCについてメネラウスの定理を用いると、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$$

が成り立ちます。

問題文と図から、$AR:RB = 2:1$、$AQ:QC = 2:1$。したがって、$AR/RB = 2$、$AQ/QC = 2$となります。$QC/AQ = 1/2$です。

$BC = BO+OC$ となります。

$OQ/QA=OQ/(2QC)$.

$OC/BC = OC/(BO+OC)$

式を整理するために、$CO:OR = x:1$ とおくと、$CO = xOR$となります。

メネラウスの定理より、

$$2 \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{AQ} = 1$$

$$2 \cdot \frac{BO+CO}{CO} \cdot \frac{OQ}{2QC} = 1$$

$$2 \cdot \frac{BO+xOR}{xOR} \cdot \frac{OQ}{2QC} = 1$$

ここでは比を求めるため、別の方法で解きます。

点Oは三角形ABC内部の点なので、$\vec{AO}$は$\vec{AB}$と$\vec{AC}$で表せます。

$\vec{AQ}=\frac{2\vec{AC}+\vec{AA}}{3} = \frac{2}{3}\vec{AC}$.

$\vec{AR}=\frac{\vec{AB}+2\vec{AA}}{3} = \frac{1}{3}\vec{AB}$.

また、直線BOとARは一直線上にありますので、

$\vec{AO}=k\vec{AQ} = \frac{2}{3}k\vec{AC}$

$\vec{AO}=(1-s)\vec{AB}+s\vec{AC} = t\vec{AR}=t\frac{\vec{AB}}{3}$とおくと、

$1-s = \frac{t}{3}$

$s = \frac{2}{3}k$

$s = \frac{2}{5}$. $k = \frac{3}{5}$. $t = \frac{9}{5}$

$\vec{AO} = \frac{1}{5}\vec{AB}+\frac{4}{5}\vec{AC}$.

OはBCを結ぶ直線上に存在するので、

$\vec{AO} = (1-u)AR + uAC$.

ここで、Cevaの定理を用いると

$$\frac{AR}{RB}\cdot\frac{BO}{OC}\cdot\frac{CQ}{QA} = 1$$

$$\frac{2}{1}\cdot\frac{BO}{OC}\cdot\frac{1}{2} = 1$$

$$BO = OC$$

したがって、

$\frac{CO}{OR} = \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

CO : OR = 5 : 4