三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを $3:1$ に内分し、点Rは辺ABを $1:3$ に内分する。このとき、線分COと線分ORの比 $CO:OR$ を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを $3:1$ に内分し、点Rは辺ABを $1:3$ に内分する。このとき、線分COと線分ORの比 $CO:OR$ を求める。

2. 解き方の手順

チェバの定理の変形を使う。三角形ABOにおいて、直線CRが辺AB, BO, OAとそれぞれ点R, C, Qで交わるとき、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$$

が成り立つ。

$AR:RB = 1:3$ より $\frac{AR}{RB} = \frac{1}{3}$

$AQ:QC = 3:1$ より $\frac{AQ}{QC} = \frac{3}{1}$だから、$\frac{QC}{AQ} = \frac{1}{3}$. したがって、$\frac{OQ}{QA}$ を求めるためには、 $\frac{OQ}{AQ}$ を計算する必要がある。

メネラウスの定理を適用すると、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$$

$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{3}$, $\frac{AQ}{QC} = 3$, $AC = AQ + QC = 3QC + QC = 4QC$より $BC = 4$。

チェバの定理より、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QA}{AC} = 1$$

$$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{4} = 1$$

$$\frac{3}{4}$$

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CO} \cdot \frac{OQ}{QA} = 1$$

$$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{CO} \cdot \frac{OQ}{3} = 1$$

$$\frac{4}{CO} \cdot \frac{OQ}{3} = 3$$

$$\frac{OQ}{CO} = \frac{9}{4}$$

$$CO:OQ = 4:9$$

より $CO:OQ = 4:9$。よって、

$$\frac{OQ}{OC} = \frac{9}{4}$$

$CO = OR + RC$ より

$$\frac{BC}{CO}$$

ここで、メネラウスの定理から $\frac{OQ}{QA} = \frac{CO}{4}$.

$$\frac{CO}{OR} = \frac{3}{1}$$

3. 最終的な答え

$CO:OR = 3:1$