三角形ABCにおいて、点Qが辺BCを3:1に内分し、点Rが辺ACを2:1に内分するとき、線分BO:ORの比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qが辺BCを3:1に内分し、点Rが辺ACを2:1に内分するとき、線分BO:ORの比を求めよ。

2. 解き方の手順

これはチェバの定理とメネラウスの定理を用いる問題です。または、ベクトルの知識を使って解くこともできます。ここでは、ベクトルの知識で解いてみます。

$\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AC} = \vec{c}$とおく。

点Qは辺BCを3:1に内分するので、

$\vec{AQ} = \frac{1 \cdot \vec{b} + 3 \cdot \vec{c}}{3+1} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{c}$

点Rは辺ACを2:1に内分するので、

$\vec{AR} = \frac{2}{3}\vec{c}$

点Oは線分AQ上にあるので、実数$s$を用いて

$\vec{AO} = s\vec{AQ} = \frac{s}{4}\vec{b} + \frac{3s}{4}\vec{c}$と表せる。

点Oは線分BR上にあるので、実数$t$を用いて

$\vec{AO} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AR} = (1-t)\vec{b} + t \cdot \frac{2}{3}\vec{c} = (1-t)\vec{b} + \frac{2t}{3}\vec{c}$と表せる。

$\vec{b}$と$\vec{c}$は一次独立なので、

$\frac{s}{4} = 1-t$

$\frac{3s}{4} = \frac{2t}{3}$

この連立方程式を解くと、

$s = 4(1-t)$

$9s = 8t$

$9 \cdot 4(1-t) = 8t$

$36 - 36t = 8t$

$36 = 44t$

$t = \frac{36}{44} = \frac{9}{11}$

$s = 4(1 - \frac{9}{11}) = 4 \cdot \frac{2}{11} = \frac{8}{11}$

したがって、

$\vec{AO} = \frac{8}{11}\vec{AQ}$

$\vec{AQ} = \vec{AO} + \vec{OQ}$より

$\vec{AO} = \frac{8}{11}(\vec{AO} + \vec{OQ})$

$\frac{3}{11}\vec{AO} = \frac{8}{11}\vec{OQ}$

$3\vec{AO} = 8\vec{OQ}$

$\vec{AO} : \vec{OQ} = 8:3$

同様に、点Oは線分BR上にあるので、

$\vec{BO} = (1-t)\vec{b} + t\vec{AR}-\vec{AB}$

$\vec{BO} = t(\vec{AR} - \vec{AB})$

$\vec{BO} = \frac{9}{11}(\frac{2}{3}\vec{c} - \vec{b}) = \frac{6}{11}\vec{c} - \frac{9}{11}\vec{b}$

$\vec{OR} = \vec{AR} - \vec{AO} = \frac{2}{3}\vec{c} - \frac{8}{11}(\frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{c}) = \frac{2}{3}\vec{c} - \frac{2}{11}\vec{b} - \frac{6}{11}\vec{c} = (\frac{2}{3}-\frac{6}{11})\vec{c} - \frac{2}{11}\vec{b} = (\frac{22-18}{33})\vec{c} - \frac{2}{11}\vec{b} = \frac{4}{33}\vec{c} - \frac{2}{11}\vec{b}$

$\vec{BO} : \vec{OR}$を考えるのが難しいので、AQに対する比で考える。

$\vec{BO} = \vec{AO}-\vec{AB}$

$\vec{BO} : \vec{OR} = \frac{BO}{OR}$

$\vec{BO} = x \vec{b} + y \vec{c}$

$\vec{OR} = (1 - \frac{9}{11} - 1)\vec{b} + \frac{9}{11}\vec{c}$

メネラウスの定理を使って、

$\frac{AQ}{QO} \cdot \frac{OB}{BR} \cdot \frac{RC}{CA} = 1$

$BO : OR = 9:2$

3. 最終的な答え

BO : OR = 9 : 2