三角形ABCにおいて、点Gは重心であり、線分EFと線分BCが平行である。AE = 9cmのとき、線分EBの長さ $x$ を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Gは重心であり、線分EFと線分BCが平行である。AE = 9cmのとき、線分EBの長さ $x$ を求める。

2. 解き方の手順

重心Gは中線を2:1に内分する。

したがって、AG:GD = 2:1となる。

また、AE:EB = AG:GD である。

線分EFと線分BCが平行なので、三角形AEFと三角形ABCは相似である。

したがって、AE:AB = AG:AD となる。

ここで、AD = AG + GD である。

AG:GD = 2:1なので、AG = 2GD である。

したがって、AD = 2GD + GD = 3GD である。

AG:AD = 2GD : 3GD = 2:3 となる。

また、AE:AB = 2:3である。

AB = AE + EB = 9 + x である。

したがって、

$\frac{AE}{AB} = \frac{9}{9+x} = \frac{2}{3}$

これを解くと、

$2(9+x) = 27$

$18 + 2x = 27$

$2x = 27 - 18$

$2x = 9$

$x = \frac{9}{2} = 4.5$

3. 最終的な答え

x = 4.5