1. 問題の内容
三角形ABCの各辺を3等分する点をとり、指定された点を結ぶことによってできる図形において、斜線部分の面積を求めます。三角形ABCの面積は180です。
2. 解き方の手順
三角形ABCの面積をSとします。S=180です。
各辺が3等分されているので、AF, AG, DI, EHによって分けられる各三角形の面積を考えます。
まず、AFとAGによって三角形ABCは3つの三角形に分割されます。それぞれの三角形の面積は等しく、S/3です。
同様に、DI, EHもそれぞれ三角形を3つに分割します。それぞれの面積はS/3です。
次に、斜線部分の面積を考えます。
斜線部分は、三角形AEF, 三角形GDH, そして三角形ADIの３つから構成されています。
三角形AEFの面積を考えます。
AE = (2/3)AB, AF = (2/3)ACなので、三角形AEFの面積は(2/3)*(2/3)*三角形ABCの面積 = (4/9)Sです。
三角形GDHの面積を考えます。
GD = (2/3)CB, DH = (2/3)CAなので、三角形GDHの面積は(2/3)*(2/3)*三角形ABCの面積 = (4/9)Sです。
三角形ADIの面積を考えます。
AD = (1/3)AB, AI = (2/3)ACなので、三角形ADIの面積は(1/3)*(2/3)*三角形ABCの面積 = (2/9)Sです。
斜線部分の面積は、これらの三角形の面積の合計です。
斜線部分の面積 = (4/9)S + (4/9)S + (2/9)S = (10/9)S
S = 180なので、斜線部分の面積 = (10/9)*180 = 200。
ここで，図から内側の平行四辺形の面積を引く必要がありそうです。この平行四辺形は全体の三角形の面積のおよそ1/2くらいなので、1/2 * 180 = 90 くらいです。したがって、求めたい斜線部分の面積は、 200 - 90 = 110 に近いです。したがって，答えは113に近いと考えられます。
三角形ABCを細かい三角形に分割して考えます。AB, BC, CAをそれぞれ3等分しているので、大きな三角形ABCは9つの合同な三角形に分割できると考えます。斜線部分は、合同な三角形の数で数えると、10個分になります。三角形ABC全体の面積が180なので、一つの合同な三角形の面積は、180/9 = 20 になります。よって、斜線部分の面積は、10 * 20 = 200 となります。しかし、内側の三角形の面積を引く必要がありそうです。
さらに検討します。
斜線部分は、3つの三角形AEF, GDH, ADIの面積の合計である。
三角形ABCの面積が180であることから、
三角形AEF = (2/3)*(2/3)*180 = 80
三角形GDH = (2/3)*(2/3)*180 = 80
三角形ADI = (1/3)*(2/3)*180 = 40
したがって、斜線部分の面積の合計は、80 + 80 + 40 = 200 です。
しかし、これは斜線部分だけではありません。図から、内側の部分を除外する必要があります。
内側の部分の面積は、200 - 180 = 20 ではありません。
正しくは、斜線部分に含まれない三角形の面積を計算します。
例えば、三角形DEF, DGH, ADI, EHIなどの面積を計算します。
これは難しいので、別の方法を考えます。
三角形ABCの面積を180とし、斜線部分の面積をXとします。選択肢からXの値を予想します。
X = 95, 100, 106, 113, 121
図から、斜線部分は全体の面積の半分より少し大きい程度であることがわかります。
したがって、100付近が最も近いと考えられます。
3. 最終的な答え
(3) 106