三角形$ABC$において、$AB=9$, $BC=7$, $CA=6$である。$\angle A$の二等分線と辺$BC$との交点を$P$とする。$\angle A$の外角の二等分線と直線$BC$との交点を$Q$とするとき、$PQ$の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形$ABC$において、$AB=9$, $BC=7$, $CA=6$である。$\angle A$の二等分線と辺$BC$との交点を$P$とする。$\angle A$の外角の二等分線と直線$BC$との交点を$Q$とするとき、$PQ$の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質から、$BP:PC = AB:AC$である。

$BP:PC = 9:6 = 3:2$

$BC = 7$なので、

$BP = 7 \times \frac{3}{3+2} = 7 \times \frac{3}{5} = \frac{21}{5}$

$CP = 7 \times \frac{2}{3+2} = 7 \times \frac{2}{5} = \frac{14}{5}$

次に、外角の二等分線の性質から、$BQ:CQ = AB:AC$である。

$BQ:CQ = 9:6 = 3:2$

$CQ = BQ - BC = BQ - 7$なので、

$BQ:(BQ - 7) = 3:2$

$2BQ = 3(BQ - 7)$

$2BQ = 3BQ - 21$

$BQ = 21$

$CQ = 21 - 7 = 14$

したがって、

$PQ = BQ - BP = 21 - \frac{21}{5} = \frac{105 - 21}{5} = \frac{84}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{84}{5}$