図のア、イ、ウの中で、4点A, B, C, Dが同一円周上にあるものはどれか判別する問題です。

1. 問題の内容

図のア、イ、ウの中で、4点A, B, C, Dが同一円周上にあるものはどれか判別する問題です。

2. 解き方の手順

4点A, B, C, Dが同一円周上にあるための条件は、円周角の定理の逆が成り立つことです。すなわち、線分BCに対して、$\angle BAC = \angle BDC$　または　$\angle ABC = \angle ADC$　が成立することを確認します。

また、対角の和が180度になることでも判断できます。

(ア)

$\angle BAC = 90^\circ$、$\angle BDC = 90^\circ$なので、$\angle BAC = \angle BDC$ が成り立ちます。したがって、4点A, B, C, Dは同一円周上にあります。

(イ)

$\angle ABC$ が不明であるため、$\angle ADC$を求めます。

四角形の内角の和は360度であるから、

$\angle ADC = 360^\circ - 70^\circ - 110^\circ - 55^\circ = 125^\circ$

$\angle ABC + \angle ADC = 110^\circ+55^\circ = 70^\circ + 125^\circ= 195^\circ$

となり、$180^\circ$ とは異なるため、4点A, B, C, Dは同一円周上にありません。

(ウ)

$\angle ABC = 45^\circ$なので、$\angle ADC$を求めます。

$\angle ACB = 180^\circ - 55^\circ - 55^\circ = 70^\circ$

三角形の内角の和は180度より、$180^\circ$なので、$\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB$を求めます。

$\angle BAC = 180^\circ - 45^\circ - 70^\circ = 65^\circ$

$\angle ADB = 25^\circ$

$\angle ADC = 25^\circ + 65^\circ= 90^\circ$

$45^\circ \ne 90^\circ$

したがって、4点A, B, C, Dは同一円周上にありません。

3. 最終的な答え

ア