点Gは三角形ABCの重心であり、線分EFは線分BCと平行です。線分AFの長さが6.3cmのとき、線分AEの長さxを求める問題です。

1. 問題の内容

点Gは三角形ABCの重心であり、線分EFは線分BCと平行です。線分AFの長さが6.3cmのとき、線分AEの長さxを求める問題です。

2. 解き方の手順

重心Gは中線を2:1に内分する点であるという性質を利用します。

線分ADは中線であり、点GはAD上にあります。

同様に、線分BE、線分CFも中線であり、点Gはそれぞれの中線上にあります。

重心Gは中線を2:1に内分するため、$AG:GD = BG:GE = CG:GF = 2:1$が成り立ちます。

特に、$CG:GF = 2:1$より、$CG = 2GF$が成り立ちます。

与えられた情報から、$CF= CG + GF$であり、$GF=6.3$cmであるため、

$CG= 2 \times 6.3 = 12.6$cmとなります。

したがって、$CF = CG + GF = 12.6 + 6.3 = 18.9$cmとなります。

また、$AG:GD = 2:1$であることより、$AD = AG + GD$であり、$AG = 2GD$であるため、$AD = 3GD$となります。

同様に、$AE:EB=1:1$、$AF:FC=1:1$が成り立つことから、$\triangle AEF \sim \triangle ABC$が成り立ち、$AE:AB=AF:AC = EF:BC$が成り立ちます。

$CG:GF = 2:1$より、$AG:GF = 2:1$だから、

$\frac{AG}{AF}=\frac{2}{3}$となります。

$\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$より、$AD = \frac{3}{2}AG$です。

重心Gが中線を2:1に内分することから、$CG = \frac{2}{3} CF$が成り立ちます。

したがって、$GF = \frac{1}{3} CF$となり、$CF=3GF$となります。

同様に、$BE = 3AE$です。

$EF // BC$より、$\triangle AEF$と$\triangle ABC$は相似です。

$G$が$\triangle ABC$の重心なので、

$\frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC}=1$です。

$AE:AB = AG:AD=2:3$です。

$AG:AD=AF:AC$なので$AE=AF$である。

したがって、$AE=AF=6.3$cmである。

3. 最終的な答え

x = 6.3