与えられた連立不等式 $4x-y+6 \ge 0$ $2x+3y-4 \le 0$ $x-2y-2 \le 0$ で表される領域 $D$ の面積を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$4x-y+6 \ge 0$

$2x+3y-4 \le 0$

$x-2y-2 \le 0$

で表される領域 $D$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式に対応する直線の方程式を求める。

$4x - y + 6 = 0$ より $y = 4x + 6$ (1)

$2x + 3y - 4 = 0$ より $y = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$ (2)

$x - 2y - 2 = 0$ より $y = \frac{1}{2}x - 1$ (3)

次に、これらの直線の交点を求める。

(1)と(2)の交点：

$4x + 6 = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$

$12x + 18 = -2x + 4$

$14x = -14$

$x = -1$

$y = 4(-1) + 6 = 2$

交点 $(-1, 2)$

(1)と(3)の交点：

$4x + 6 = \frac{1}{2}x - 1$

$8x + 12 = x - 2$

$7x = -14$

$x = -2$

$y = 4(-2) + 6 = -2$

交点 $(-2, -2)$

(2)と(3)の交点：

$-\frac{2}{3}x + \frac{4}{3} = \frac{1}{2}x - 1$

$-4x + 8 = 3x - 6$

$7x = 14$

$x = 2$

$y = \frac{1}{2}(2) - 1 = 0$

交点 $(2, 0)$

これらの交点を頂点とする三角形の面積を求める。

三角形の頂点は $(-1, 2)$, $(-2, -2)$, $(2, 0)$.

三角形の面積は、以下の式で求められる。

$S = \frac{1}{2} |(x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))|$

$S = \frac{1}{2} |(-1(-2 - 0) + (-2)(0 - 2) + 2(2 - (-2)))|$

$S = \frac{1}{2} |(-1(-2) + (-2)(-2) + 2(4))|$

$S = \frac{1}{2} |(2 + 4 + 8)|$

$S = \frac{1}{2} |14|$

$S = 7$

3. 最終的な答え

領域Dの面積は 7