以下の問題が与えられています。 * 問題5(1): グラフが $y = 4x - 3$ に平行で、点 $(3, 7)$ を通る1次関数を求めよ。 * 問題5(2): グラフが2点 $(2, 3)$ と $(-1, -6)$ を通る1次関数を求めよ。 * 問題6(1): 関数 $y = -2x^2$ について、$x$ の変域が $-2 \le x \le 3$ のときの $y$ の変域を求めよ。 * 問題6(2): 関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ で、$x$ の値が $2$ から $8$ まで変化するときの変化の割合を求めよ。

1. 問題の内容

以下の問題が与えられています。

* 問題5(1): グラフが $y = 4x - 3$ に平行で、点 $(3, 7)$ を通る1次関数を求めよ。

* 問題5(2): グラフが2点 $(2, 3)$ と $(-1, -6)$ を通る1次関数を求めよ。

* 問題6(1): 関数 $y = -2x^2$ について、$x$ の変域が $-2 \le x \le 3$ のときの $y$ の変域を求めよ。

* 問題6(2): 関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ で、$x$ の値が $2$ から $8$ まで変化するときの変化の割合を求めよ。

2. 解き方の手順

* 問題5(1):

* 平行な直線の傾きは等しいので、求める1次関数の傾きは $4$ である。

* 求める1次関数を $y = 4x + b$ とおく。

* 点 $(3, 7)$ を通るので、$7 = 4(3) + b$ が成り立つ。

* これを解くと、$b = 7 - 12 = -5$ となる。

* したがって、求める1次関数は $y = 4x - 5$ である。

* 問題5(2):

* 2点 $(2, 3)$ と $(-1, -6)$ を通る直線の傾き $a$ は、

$a = \frac{-6 - 3}{-1 - 2} = \frac{-9}{-3} = 3$

* 求める1次関数を $y = 3x + b$ とおく。

* 点 $(2, 3)$ を通るので、$3 = 3(2) + b$ が成り立つ。

* これを解くと、$b = 3 - 6 = -3$ となる。

* したがって、求める1次関数は $y = 3x - 3$ である。

* 問題6(1):

* 関数 $y = -2x^2$ は上に凸の放物線である。

* $x = 0$ のとき、$y = 0$ であり、$x = 0$ は $-2 \le x \le 3$ の範囲に含まれる。

* $x = -2$ のとき、$y = -2(-2)^2 = -8$ である。

* $x = 3$ のとき、$y = -2(3)^2 = -18$ である。

* したがって、$y$ の最大値は $0$ であり、最小値は $-18$ である。

* よって、$y$ の変域は $-18 \le y \le 0$ である。

* 問題6(2):

* $x = 2$ のとき、$y = \frac{1}{2}(2)^2 = \frac{1}{2}(4) = 2$ である。

* $x = 8$ のとき、$y = \frac{1}{2}(8)^2 = \frac{1}{2}(64) = 32$ である。

* 変化の割合は、$\frac{yの増加量}{xの増加量}$で求められる。

* 変化の割合は、$\frac{32 - 2}{8 - 2} = \frac{30}{6} = 5$ である。

3. 最終的な答え

* 問題5(1): $y = 4x - 5$

* 問題5(2): $y = 3x - 3$

* 問題6(1): $-18 \le y \le 0$

* 問題6(2): $5$