12本のくじの中に当たりくじが4本ある。同時に3本のくじを引いたとき、少なくとも1本が当たりである確率を求める。

1. 問題の内容

12本のくじの中に当たりくじが4本ある。同時に3本のくじを引いたとき、少なくとも1本が当たりである確率を求める。

2. 解き方の手順

少なくとも1本が当たる確率を求める問題なので、余事象の考え方を利用する。「少なくとも1本が当たる」の余事象は「すべて外れる」である。

まず、3本のくじの引き方の総数を計算する。これは12本から3本を選ぶ組み合わせなので、

$_{12}C_3$ で表される。

$_{12}C_3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

次に、3本とも外れる確率を計算する。外れくじは12 - 4 = 8本あるので、8本から3本を選ぶ組み合わせは $_{8}C_3$ で表される。

$_{8}C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

したがって、3本とも外れる確率は、$\frac{_{8}C_3}{_{12}C_3} = \frac{56}{220} = \frac{14}{55}$ である。

少なくとも1本が当たる確率は、1から「すべて外れる」確率を引けば求められる。

$1 - \frac{14}{55} = \frac{55 - 14}{55} = \frac{41}{55}$

3. 最終的な答え

$\frac{41}{55}$