袋の中に赤玉2個、白玉3個、青玉5個が入っている。この袋から3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉2個、白玉3個、青玉5個が入っている。この袋から3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求める。

2. 解き方の手順

少なくとも1個が白玉である確率は、すべての取り出し方から白玉が1つも含まれない取り出し方の確率を引くことで求められる。

まず、すべての取り出し方の総数を計算する。合計10個の玉から3個を取り出す組み合わせの数は、$_{10}C_3$である。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

次に、白玉が1つも含まれない取り出し方の数を計算する。これは、赤玉2個と青玉5個の合計7個の玉から3個を取り出す組み合わせの数に等しい。これは、$_{7}C_3$である。

$_{7}C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$

したがって、少なくとも1個が白玉である確率は、1から白玉が1つも含まれない確率を引いたものである。

$P(\text{少なくとも1個が白玉}) = 1 - P(\text{白玉が含まれない})$

$P(\text{白玉が含まれない}) = \frac{_{7}C_3}{_{10}C_3} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}$

$P(\text{少なくとも1個が白玉}) = 1 - \frac{7}{24} = \frac{24}{24} - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{17}{24}$