点Oを頂点とし、四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDが与えられ、以下の条件を満たす。 $OA = OC = 1$, $OB = OD = 2$, $\vec{OA} \perp \vec{BD}$, $\vec{OC} \perp \vec{BD}$, $\vec{OB} \perp \vec{AC}$ $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$, $\vec{OD} = \vec{d}$ とおき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = t$ とする。 (1) 四角形ABCDがひし形であることを示せ。 (2) $\vec{d}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。 (3) $\vec{a} \cdot \vec{c}$ を $t$ を用いて表せ。また、$\vec{b} \cdot \vec{d}$ を $t$ を用いて表せ。 (4) 四角錐OABCDの体積を $t$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

点Oを頂点とし、四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDが与えられ、以下の条件を満たす。

$OA = OC = 1$, $OB = OD = 2$, $\vec{OA} \perp \vec{BD}$, $\vec{OC} \perp \vec{BD}$, $\vec{OB} \perp \vec{AC}$

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$, $\vec{OD} = \vec{d}$ とおき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = t$ とする。

(1) 四角形ABCDがひし形であることを示せ。

(2) $\vec{d}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

(3) $\vec{a} \cdot \vec{c}$ を $t$ を用いて表せ。また、$\vec{b} \cdot \vec{d}$ を $t$ を用いて表せ。

(4) 四角錐OABCDの体積を $t$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 四角形ABCDがひし形であることの証明

$\vec{BD} = \vec{OD} - \vec{OB} = \vec{d} - \vec{b}$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = \vec{c} - \vec{a}$

条件より $\vec{OA} \perp \vec{BD}$ なので、 $\vec{a} \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = 0$ より $\vec{a} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{b} = t$。

また、$\vec{OC} \perp \vec{BD}$ なので、 $\vec{c} \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = 0$ より $\vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{c} \cdot \vec{b}$。

条件より $\vec{OB} \perp \vec{AC}$ なので、 $\vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$ より $\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b} = t$。

よって、$\vec{c} \cdot \vec{d} = t$。

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2 = 2^2 - 2t + 1^2 = 5 - 2t$

$|\vec{BC}|^2 = |\vec{c} - \vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{b}|^2 = 1^2 - 2t + 2^2 = 5 - 2t$

$|\vec{CD}|^2 = |\vec{d} - \vec{c}|^2 = |\vec{d}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d} + |\vec{c}|^2 = 2^2 - 2t + 1^2 = 5 - 2t$

$|\vec{DA}|^2 = |\vec{a} - \vec{d}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{d} + |\vec{d}|^2 = 1^2 - 2t + 2^2 = 5 - 2t$

よって、$|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CD}| = |\vec{DA}|$ であるから、四角形ABCDはひし形である。

(2) $\vec{d}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表す。

四角形ABCDはひし形なので、$\vec{AD} = k \vec{BC}$ と表せる。

$\vec{d} - \vec{a} = k(\vec{c} - \vec{b})$ より $\vec{d} = \vec{a} + k(\vec{c} - \vec{b})$

$\vec{a} \cdot \vec{d} = t$ より $\vec{a} \cdot (\vec{a} + k(\vec{c} - \vec{b})) = t$

$|\vec{a}|^2 + k(\vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b}) = t$

$1 + k(\vec{a} \cdot \vec{c} - t) = t$

$\vec{c} \cdot \vec{d} = t$ より $\vec{c} \cdot (\vec{a} + k(\vec{c} - \vec{b})) = t$

$\vec{a} \cdot \vec{c} + k(|\vec{c}|^2 - \vec{b} \cdot \vec{c}) = t$

$\vec{a} \cdot \vec{c} + k(1 - t) = t$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = t - k(1 - t)$

$1 + k(t - k(1 - t) - t) = t$

$1 + k(-k(1 - t)) = t$

$1 - k^2(1 - t) = t$

$k^2(1 - t) = 1 - t$

$k^2 = 1$

$k = 1$ または $k = -1$

$\vec{AD}$ と $\vec{BC}$ は同じ向きなので、$k = 1$

$\vec{d} = \vec{a} + (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{c}$ と $\vec{b} \cdot \vec{d}$ を $t$ を用いて表す。

(2)より $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = t - k(1 - t) = t - (1 - t) = 2t - 1$

$\vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) = \vec{b} \cdot \vec{a} - |\vec{b}|^2 + \vec{b} \cdot \vec{c} = t - 4 + t = 2t - 4$

(4) 四角錐OABCDの体積を $t$ を用いて表す。

$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$

$\vec{BD} = \vec{d} - \vec{b} = \vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c}$

四角形ABCDの面積 $S = \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{BD}|$

$\vec{AC} \times \vec{BD} = (\vec{c} - \vec{a}) \times (\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c}) = \vec{c} \times \vec{a} - 2\vec{c} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{a} + 2\vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} - 2\vec{c} \times \vec{b} + 2\vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{c} = -2\vec{c} \times \vec{b} + 2\vec{a} \times \vec{b} + 2\vec{c} \times \vec{a}$

$S = |\vec{AC} \times \vec{BD}| = |2 \vec{a} \times \vec{b} - 2 \vec{b} \times \vec{c} + 2\vec{c} \times \vec{a}|$

$V = \frac{1}{3} * S * h$

3. 最終的な答え

(2)

$\vec{d} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

(3)

$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2t - 1$

$\vec{b} \cdot \vec{d} = 2t - 4$

(4)

四角錐 OABCD の体積を t で表すのは難しいです。情報が足りないため、高さなどを求めることができません。四角錐の体積を求めるには、底面積と高さの情報が必要です。