(1) 2次元直交座標系から2次元極座標系への変換行列 $A$ を求める。2次元極座標系での単位基底ベクトルは $\vec{e}_r = \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}$, $\vec{e}_\theta = \begin{pmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix}$ である。 (2) 求めた変換行列 $A$ を用いて、直交座標系の単位基底ベクトル $\vec{e}_x$ および $\vec{e}_y$ を変換すると、極座標系の単位基底ベクトル $\vec{e}_r$ および $\vec{e}_\theta$ が得られることを示す。

1. 問題の内容

(1) 2次元直交座標系から2次元極座標系への変換行列 $A$ を求める。2次元極座標系での単位基底ベクトルは $\vec{e}_r = \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}$, $\vec{e}_\theta = \begin{pmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix}$ である。

(2) 求めた変換行列 $A$ を用いて、直交座標系の単位基底ベクトル $\vec{e}_x$ および $\vec{e}_y$ を変換すると、極座標系の単位基底ベクトル $\vec{e}_r$ および $\vec{e}_\theta$ が得られることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 2次元直交座標系の単位基底ベクトルを $\vec{e}_x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、$\vec{e}_y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ とする。変換行列 $A$ は、$\vec{e}_r$ と $\vec{e}_\theta$ を列ベクトルとして並べたものである。

$$A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$$

(2) 直交座標系の単位ベクトル $\vec{e}_x$ および $\vec{e}_y$ に変換行列 $A$ を作用させてみる。

$A \vec{e}_x = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} = \vec{e}_r$

$A \vec{e}_y = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix} = \vec{e}_\theta$

したがって、変換行列 $A$ を $\vec{e}_x$ および $\vec{e}_y$ に作用させると、それぞれ $\vec{e}_r$ および $\vec{e}_\theta$ が得られることが示された。

3. 最終的な答え

(1) 変換行列 $A$ は

$$A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$$

(2) 上記の計算により、直交座標系の単位ベクトル $\vec{e}_x$ および $\vec{e}_y$ に変換行列 $A$ を作用させると、それぞれ $\vec{e}_r$ および $\vec{e}_\theta$ が得られることが示された。