$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC}$ を証明せよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ の重心を $G$ とするとき、$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC}$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

重心の性質を利用して、与えられた式を証明する。

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$ が成り立つことを利用する。

まず、左辺を変形する。

$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) + \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC}$

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$ より、

$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = \vec{0} + \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC}$

次に、始点を $A$ に変更する。

$\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AG}$

$\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AG}$

よって、

$\overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC} = (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AG}) + 2(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AG}) = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AG}$

ここで、重心 $G$ は $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ を満たす。

したがって、

$\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - 3 \cdot \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AC}$

よって、

$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 3\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC}$