与えられた式 $a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+2abc$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+2abc$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc = a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

次に、式を整理します。

$a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

さらに整理して、

$a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + abc + abc = a^2b + ab^2 + abc + a^2c + ac^2 + abc + b^2c + bc^2$

$ab(a + b + c) + ac(a + c + b) + bc(b + c)$

$ab(a + b + c) + ac(a + b + c) + bc(b + c)$

$ab(a+b+c) + ac(a+b+c) + bc(a+b+c) - abc = ab(a+b+c) + ac(a+b+c) + bc(a+b+c) - abc$

順番を入れ替えて、次のようにします。

$ab(a+b+c) + ac(a+b+c) + bc(a+b+c) - abc= ab(a+b+c) + ac(a+b+c) + bc(a+b+c)-abc$

ここで、$a, b, c$ についての対称性を利用することを考えます。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc = a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+2abc$

したがって、

$a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+2abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$