A君とB君が5回じゃんけんをする時、A君が3回勝つ確率を求める問題です。引き分けは回数に含めます。

1. 問題の内容

A君とB君が5回じゃんけんをする時、A君が3回勝つ確率を求める問題です。引き分けは回数に含めます。

2. 解き方の手順

まず、1回のじゃんけんでA君が勝つ確率を考えます。じゃんけんの手はグー、チョキ、パーの3種類あり、A君が勝つのは、A君がグーでB君がチョキ、A君がチョキでB君がパー、A君がパーでB君がグーの3パターンです。したがって、A君が1回のじゃんけんで勝つ確率は $\frac{1}{3}$です。同様に、B君が1回のじゃんけんで勝つ確率も$\frac{1}{3}$、引き分けになる確率は$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$です。

5回のじゃんけんでA君が3回勝つ確率を求めるためには、二項分布の考え方を使います。5回のうち3回A君が勝ち、残りの2回はA君が負けるか引き分けになる必要があります。A君が3回勝ち、2回が負けまたは引き分けになる確率は、以下の式で計算できます。

$_{5}C_{3} (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^2$

ここで、$_{5}C_{3}$は5回の中から3回を選ぶ組み合わせの数で、$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$です。

したがって、求める確率は以下のようになります。

$10 \times (\frac{1}{3})^3 \times (\frac{2}{3})^2 = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} = \frac{40}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{40}{243}$