白玉6個と黒玉3個が入った袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回取り出すとき、白玉の出る回数を確率変数 $X$ とします。$X$ の確率分布を求めます。

1. 問題の内容

白玉6個と黒玉3個が入った袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回取り出すとき、白玉の出る回数を確率変数 $X$ とします。$X$ の確率分布を求めます。

2. 解き方の手順

$X$ は白玉の出る回数なので、$X$ がとりうる値は0, 1, 2です。

それぞれの確率を計算します。

* $X = 0$ のとき：2回とも黒玉が出る場合

1回目の黒玉が出る確率は $3/9 = 1/3$ です。

1回目に黒玉が出たとき、残りは白玉6個、黒玉2個なので、2回目に黒玉が出る確率は $2/8 = 1/4$ です。

したがって、$P(X=0) = (1/3) \times (1/4) = 1/12$

* $X = 1$ のとき：1回だけ白玉が出る場合

1回目に白玉が出て2回目に黒玉が出る確率は $(6/9) \times (3/8) = (2/3) \times (3/8) = 1/4$ です。

1回目に黒玉が出て2回目に白玉が出る確率は $(3/9) \times (6/8) = (1/3) \times (3/4) = 1/4$ です。

したがって、$P(X=1) = 1/4 + 1/4 = 1/2$

* $X = 2$ のとき：2回とも白玉が出る場合

1回目の白玉が出る確率は $6/9 = 2/3$ です。

1回目に白玉が出たとき、残りは白玉5個、黒玉3個なので、2回目に白玉が出る確率は $5/8$ です。

したがって、$P(X=2) = (2/3) \times (5/8) = 5/12$

確率の合計を確認します。

$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1/12 + 1/2 + 5/12 = 1/12 + 6/12 + 5/12 = 12/12 = 1$ となり、正しいです。

3. 最終的な答え

X | 0 | 1 | 2 | 計

--|--------|--------|--------|---

P | 1/12 | 1/2 | 5/12 | 1