$x = -5$ のとき最小値 $-2$ をとり、点 $(-3, 10)$ を通る2次関数を求めなさい。

1. 問題の内容

$x = -5$ のとき最小値 $-2$ をとり、点 $(-3, 10)$ を通る2次関数を求めなさい。

2. 解き方の手順

最小値問題なので、2次関数を $y = a(x - h)^2 + k$ の形式で表すことを考えます。

問題文より、頂点の座標が $(-5, -2)$ であることがわかります。したがって、

$y = a(x + 5)^2 - 2$

と表せます。

次に、この2次関数が点 $(-3, 10)$ を通ることから、$x = -3$、$y = 10$ を代入して、$a$ の値を求めます。

$10 = a(-3 + 5)^2 - 2$

$10 = a(2)^2 - 2$

$10 = 4a - 2$

$12 = 4a$

$a = 3$

したがって、求める2次関数は $y = 3(x + 5)^2 - 2$ となります。これを展開して整理します。

$y = 3(x^2 + 10x + 25) - 2$

$y = 3x^2 + 30x + 75 - 2$

$y = 3x^2 + 30x + 73$

3. 最終的な答え

$y = 3x^2 + 30x + 73$