三角形ABCの外心Oが与えられており、$\angle BAC = 50^\circ$、$\angle ABO = 40^\circ$である。このとき、$\angle P$の大きさを求める。ここで、点Pは線分BOと線分ACの交点である。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心Oが与えられており、$\angle BAC = 50^\circ$、$\angle ABO = 40^\circ$である。このとき、$\angle P$の大きさを求める。ここで、点Pは線分BOと線分ACの交点である。

2. 解き方の手順

まず、三角形の外心の性質より、$OA=OB=OC$となる。

三角形OABは$OA=OB$の二等辺三角形であるから、$\angle OAB = \angle OBA = 40^\circ$となる。

次に、$\angle ACB$の大きさを求める。

$\angle OAC = \angle BAC - \angle OAB = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ$

$\angle OBC = \angle ABC - \angle ABO$

三角形ABCの内角の和は$180^\circ$なので、$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ$

$\angle ABC + \angle ACB + 50^\circ = 180^\circ$

$\angle ABC + \angle ACB = 130^\circ$

また、外心の性質から、$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 50^\circ = 100^\circ$

三角形OBCは$OB=OC$の二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - 100^\circ)/2 = 40^\circ$

よって、$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 40^\circ + 40^\circ = 80^\circ$

$\angle ACB = 130^\circ - \angle ABC = 130^\circ - 80^\circ = 50^\circ$

したがって、$\angle OCB = 40^\circ$, $\angle OAC = 10^\circ$.

三角形APBにおいて、$\angle ABP = 40^\circ$, $\angle BAP = 50^\circ$.

$\angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle ABP) = 180^\circ - (50^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

したがって、$\angle P = \angle APB = 90^\circ$.

3. 最終的な答え

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