点Oが三角形ABCの外心であるとき、角xの大きさを求める問題です。三角形ABCにおいて、角Bは40度、角Cは20度と与えられています。

1. 問題の内容

点Oが三角形ABCの外心であるとき、角xの大きさを求める問題です。三角形ABCにおいて、角Bは40度、角Cは20度と与えられています。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの内角の和は180度であることから、角Aを求めます。

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C$

$\angle A = 180^\circ - 40^\circ - 20^\circ = 120^\circ$

次に、外心の性質を利用します。外心とは三角形の各頂点から等しい距離にある点であり、外心Oを中心とする円は三角形ABCの外接円になります。

角BOCは、円周角∠BACの中心角であり、円周角の2倍になります。

$\angle BOC = 2 \angle A$

$\angle BOC = 2 \times 120^\circ = 240^\circ$

次に、角xを求めます。角xは、角BOAと角COAの合計です。点Oが外心であることから、OA=OB=OCなので、三角形OABと三角形OACは二等辺三角形です。

三角形OABにおいて、OA=OBなので、角OAB=角OBAです。

$\angle OAB = \angle OBA = x_1$ (角xを分割した角OAB)

$\angle AOB = 180^\circ - 2x_1$

三角形OACにおいて、OA=OCなので、角OAC=角OCAです。

$\angle OAC = \angle OCA = x_2$ (角xを分割した角OAC)

$\angle AOC = 180^\circ - 2x_2$

角xは角OAB + 角OACなので、$x=x_1+x_2$です。

また、$\angle AOB + \angle AOC = 360^\circ - \angle BOC$です。

$\angle AOB + \angle AOC = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$

$(180^\circ - 2x_1) + (180^\circ - 2x_2) = 120^\circ$

$360^\circ - 2(x_1 + x_2) = 120^\circ$

$2(x_1 + x_2) = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$

$x_1 + x_2 = 120^\circ$

三角形OABで、$\angle OBA = 40$ より、$\angle OAB = 40$ なので、$x_1 = 40^\circ$です。

三角形OACで、$\angle OCA = 20$ より、$\angle OAC = 20$ なので、$x_2 = 20^\circ$です。

よって、$x=x_1 + x_2 = 40^\circ + 20^\circ = 60^\circ$ です。

角xは角BACの半分になります。外心の性質より、$\angle BOC = 2 \angle BAC = 240^\circ$、$\angle A=120^\circ$

角度 x = $\angle OAB + \angle OAC$ = 30

3. 最終的な答え

60