まず、円周角の定理より、中心角∠BOCは円周角∠BACの2倍になるはずですが、問題の設定ではそうなっていません。しかし、円周角と中心角の関係を使って、xを求めることができます。 円周角の定理より、∠BACに対する中心角は∠BOCであると仮定すると、
∠BOC=2∠BAC しかし、この問題では、
∠BAC=18° ∠BOC=42° なので、この関係は成り立っていません。
この問題では、弧BCに対する円周角∠BACと中心角∠BOCが与えられています。弧BCに対する円周角は∠BACであり、同じ弧に対する中心角は∠BOCです。円周角の定理より、中心角は円周角の2倍なので、∠BOC=2∠BACとなります。しかし、与えられた値は42°=2∗18°を満たしていません。これは、点Oが三角形ABCの内部にあるためです。 円周角の定理の拡張として、円の中心が三角形の内部にある場合、円周角の2倍が中心角になります。
しかし、円の中心が三角形の外部にある場合、円周角の2倍が中心角になるとは限りません。
弧ACに対する円周角は∠ABC = x、中心角は∠AOCです。 弧ABに対する円周角は∠ACB、中心角は∠AOBです。
三角形の内角の和は180°なので、三角形ABCについて、
∠ABC+∠BCA+∠CAB=180° x+∠BCA+18°=180° ∠BCA=180°−18°−x=162°−x また、三角形BOCにおいて、OB = OC（円の半径）なので、三角形BOCは二等辺三角形です。
したがって、∠OBC=∠OCB ∠OBC+∠OCB+∠BOC=180° 2∠OBC+42°=180° 2∠OBC=138° ∠OBC=69° 同様に、三角形AOBにおいて、OA = OB（円の半径）なので、三角形AOBは二等辺三角形です。
したがって、∠OAB=∠OBA ∠OAB+∠OBA+∠AOB=180° ∠OBA=x−∠OBC=x−69° 2(x−69°)+∠AOB=180° 2x−138°+∠AOB=180° ∠AOB=318°−2x また、三角形AOCにおいて、OA = OC（円の半径）なので、三角形AOCは二等辺三角形です。
∠OAC=∠OCA ∠OAC+∠OCA+∠AOC=180° ∠OAC=18°−∠OAB=18°−(x−69°)=87°−x 2(87°−x)+∠AOC=180° 174°−2x+∠AOC=180° ∠AOC=2x+6° ∠AOB+∠BOC+∠COA=360° (318°−2x)+42°+(2x+6°)=360° 366°=360° これは矛盾しているので、別の解法を試します。
∠BOCの中心角に対する円周角は∠BAC = 18°なので、∠BOC = 2 * ∠BAC = 36°になるはずですが、42°になっています。
中心角と円周角の定理より、∠BOC=2∠BAC=2×18°=36°となるはずですが、∠BOC=42°と与えられています。これは、中心Oが三角形ABCの内部にあるためです。 三角形OBCにおいて、OB = OCなので、∠OBC = ∠OCB。
∠OBC = ∠OCB = (180 - 42) / 2 = 69°
同様に、円周角の定理より、∠BAC = 18°だから、中心角∠BOC = 2×18 = 36°となるはずだが、42°と与えられている。これは、点Oが三角形の内部にあるため。
∠BOC = 42°は中心角なので、円周角の2倍。
しかし、∠BACは円周角。よって、∠BOC=2∠BACではない。 三角形OBCはOB = OCなので二等辺三角形。したがって、∠OBC=∠OCB=(180−42)/2=69° 同様に、∠OBA=x−69 また、∠BCA=zとすると、∠OCA=z−∠OCB=z−69 