複素数平面上の異なる3点 $\alpha, \beta, \gamma$ が一直線上にあるとき、次の等式が成り立つことを証明する。 $\overline{\alpha}(\beta - \gamma) + \overline{\beta}(\gamma - \alpha) + \overline{\gamma}(\alpha - \beta) = 0$

1. 問題の内容

複素数平面上の異なる3点 $\alpha, \beta, \gamma$ が一直線上にあるとき、次の等式が成り立つことを証明する。

$\overline{\alpha}(\beta - \gamma) + \overline{\beta}(\gamma - \alpha) + \overline{\gamma}(\alpha - \beta) = 0$

2. 解き方の手順

3点 $\alpha, \beta, \gamma$ が一直線上にある条件は、 $\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}$ が実数であることである。

つまり、 $\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha} = \overline{\left(\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha}\right)}$ が成り立つ。

$\frac{\beta - \alpha}{\gamma - \alpha} = \frac{\overline{\beta} - \overline{\alpha}}{\overline{\gamma} - \overline{\alpha}}$

$(\beta - \alpha)(\overline{\gamma} - \overline{\alpha}) = (\overline{\beta} - \overline{\alpha})(\gamma - \alpha)$

$\beta\overline{\gamma} - \beta\overline{\alpha} - \alpha\overline{\gamma} + \alpha\overline{\alpha} = \overline{\beta}\gamma - \overline{\beta}\alpha - \overline{\alpha}\gamma + \overline{\alpha}\alpha$

$\beta\overline{\gamma} - \beta\overline{\alpha} - \alpha\overline{\gamma} = \overline{\beta}\gamma - \overline{\beta}\alpha - \overline{\alpha}\gamma$

$\beta\overline{\gamma} - \overline{\beta}\gamma - \beta\overline{\alpha} + \overline{\beta}\alpha - \alpha\overline{\gamma} + \overline{\alpha}\gamma = 0$

次に、証明すべき式 $\overline{\alpha}(\beta - \gamma) + \overline{\beta}(\gamma - \alpha) + \overline{\gamma}(\alpha - \beta) = 0$ を変形する。

$\overline{\alpha}\beta - \overline{\alpha}\gamma + \overline{\beta}\gamma - \overline{\beta}\alpha + \overline{\gamma}\alpha - \overline{\gamma}\beta = 0$

$\overline{\alpha}\beta - \overline{\alpha}\gamma + \overline{\beta}\gamma - \overline{\beta}\alpha + \overline{\gamma}\alpha - \overline{\gamma}\beta = 0$

両辺の共役複素数を取ると、

$\overline{\overline{\alpha}\beta - \overline{\alpha}\gamma + \overline{\beta}\gamma - \overline{\beta}\alpha + \overline{\gamma}\alpha - \overline{\gamma}\beta} = \overline{0}$

$\alpha\overline{\beta} - \alpha\overline{\gamma} + \beta\overline{\gamma} - \beta\overline{\alpha} + \gamma\overline{\alpha} - \gamma\overline{\beta} = 0$

$\alpha\overline{\beta} - \beta\overline{\alpha} + \beta\overline{\gamma} - \gamma\overline{\beta} + \gamma\overline{\alpha} - \alpha\overline{\gamma} = 0$

これは、3点 $\alpha, \beta, \gamma$ が一直線上にある条件から導いた式と同じである。

したがって、$\overline{\alpha}(\beta - \gamma) + \overline{\beta}(\gamma - \alpha) + \overline{\gamma}(\alpha - \beta) = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\overline{\alpha}(\beta - \gamma) + \overline{\beta}(\gamma - \alpha) + \overline{\gamma}(\alpha - \beta) = 0$