半径4の円に内接する三角形ABCにおいて、$\angle B = 45^\circ$、BC = 4である。このとき、ACとABの値を求める問題です。

1. 問題の内容

半径4の円に内接する三角形ABCにおいて、$\angle B = 45^\circ$、BC = 4である。このとき、ACとABの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理を使ってACの長さを求めます。正弦定理とは、三角形ABCにおいて、a, b, cを各辺の長さ、A, B, Cを各角の大きさとしたとき、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

が成り立つ、というものです。Rは外接円の半径です。

今回は、$\angle B = 45^\circ$、BC = a = 4、R = 4なので、

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = 2 \times 4$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8$

$4 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 8$

$\frac{8}{\sqrt{2}} = 8$

これは正しいです。

次にAC = bを求めます。

$\frac{b}{\sin B} = 2R$より、$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$\frac{AC}{\sin B} = 2R$

$\frac{AC}{\sin C} = 8$ となり、$2R = 8$です。したがって、$2R = \frac{AC}{\sin B}$ を整理すると、

$AC = 2R \sin C$

$b = 2R \sin B = 8 \sin 45^\circ = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$

したがって、$AC = 4\sqrt{2}$です。

次に、余弦定理を使ってABの長さを求めます。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

ここで、$a = 4$, $b = 4\sqrt{2}$, $B = 45^\circ$なので、

$(4\sqrt{2})^2 = 4^2 + c^2 - 2 \times 4 \times c \times \cos 45^\circ$

$32 = 16 + c^2 - 8c \times \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 - 4\sqrt{2} c - 16 = 0$

$c = \frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{(4\sqrt{2})^2 - 4 \times 1 \times (-16)}}{2}$

$c = \frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{32 + 64}}{2}$

$c = \frac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{96}}{2}$

$c = \frac{4\sqrt{2} \pm 4\sqrt{6}}{2}$

$c = 2\sqrt{2} \pm 2\sqrt{6}$

$c = 2(\sqrt{2} \pm \sqrt{6})$

AB > 0なので、$c = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

AC = $4\sqrt{2}$

AB = $2\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)$

AC = $4\sqrt{2}$ → 答え欄に合うように変形すると、$6 = 4, 7 = 2$。

AB = $2\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)$ →答え欄に合うように変形すると、$8 = 2, 9 = 2, 10 = 3, 11 = 1$

AC = 4√2

AB = 2√2 (√3 + 1)