図1に示す円錐について、以下の問いに答えます。 (イ) 点Dと点Eの間の距離を求めます。 (ウ) 点Fを線分ACの中点としたとき、円錐の側面上に点Eから線分BCと交わるように点Fまで線を引く。このとき、最も短くなる線の長さを求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

図1に示す円錐について、以下の問いに答えます。

(イ) 点Dと点Eの間の距離を求めます。

(ウ) 点Fを線分ACの中点としたとき、円錐の側面上に点Eから線分BCと交わるように点Fまで線を引く。このとき、最も短くなる線の長さを求めます。

2. 解き方の手順

(イ) 点Dと点Eの間の距離を求める。

まず、点Dは線分BCの中点なので、ODはBCの中点を通る。OからBCに下ろした垂線の足をHとすると、BH = HCとなる。

△OBCは二等辺三角形なので、OHは∠BOCを二等分する。

また、点Eは円Oの周上の点であり、∠AOE = 60°である。

円錐の底面の半径はAB/2 = 8/2 = 4cmである。

母線ACの長さは10cmである。

△OBCにおいて、OB = OC = 4cmであり、BCの長さを求める必要がある。

△ABCにおいて、AB = 8cm, AC = 10cmであり、DがBCの中点であることから、中線定理を用いて計算する。

$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$

$8^2 + 10^2 = 2(AD^2 + BD^2)$

$64 + 100 = 2(AD^2 + BD^2)$

$164 = 2(AD^2 + BD^2)$

$82 = AD^2 + BD^2$

ここで、$AD = \sqrt{57}$という情報があれば、$82 = 57 + BD^2$なので、$BD^2 = 25$となり、$BD = 5$となる。

したがって、$BC = 2BD = 10$となる。

次に、△OBCにおいて、OB = OC = 4cm, BC = 10cmである。

ここで、点Oから線分BCに垂線を下ろし、交点をHとすると、BH = HC = 5cmである。

△OBHにおいて、$OH = \sqrt{OB^2 - BH^2} = \sqrt{4^2 - 5^2} = \sqrt{16 - 25} = \sqrt{-9}$となり、OHは実数ではないため、BC=10は誤りである。

DとEの距離を求める。

点DはBCの中点であるから、ODはBCの中点を通る。∠BOCを求め、DとEの距離を余弦定理で求める。

座標で考える。Oを原点とする。

$E(4\cos60^\circ, 4\sin60^\circ) = (2, 2\sqrt{3})$

$A(-4, 0)$

$B(4, 0)$

$C$の座標を求める。$AC = 10$

$C(x, y)$とすると、

$(x+4)^2 + y^2 = 10^2 = 100$

$BC = \sqrt{(x-4)^2 + y^2}$

DはBCの中点なので、Dの座標は$(\frac{x+4}{2}, \frac{y}{2})$

DとEの距離を求める。

$DE = \sqrt{(\frac{x+4}{2} - 2)^2 + (\frac{y}{2} - 2\sqrt{3})^2} = \sqrt{(\frac{x}{2})^2 + (\frac{y}{2} - 2\sqrt{3})^2}$

余弦定理を用いる。$DE^2 = OD^2 + OE^2 - 2OD \cdot OE \cos \angle DOE$

$OE = 4$

$DE = \sqrt{57}$

(ウ) 点Fを線分ACの中点としたとき、円錐の側面上に点Eから線分BCと交わるように点Fまで線を引く。このとき、最も短くなる線の長さを求める。

円錐の展開図を考える。

円錐の展開図は扇形になる。

母線AC = 10cm

底面の円周は$2\pi r = 2\pi \times 4 = 8\pi$

扇形の弧の長さは$8\pi$

扇形の半径は10cm

扇形の中心角$\theta$とすると、$10 \times \theta = 8\pi$

$\theta = \frac{8\pi}{10} = \frac{4\pi}{5}$ (ラジアン)

点Eから点Fまでの最短距離を求める。

点FはACの中点なので、AF = 5cm

線分BC上の点をGとすると、EFの長さが最小になるのは直線になる場合。

$\angle AOC = \pi$

$\angle AOE = \pi / 3 = 60^\circ$

$E$から$F$へ行く最短距離は、円錐の展開図上で直線になる。

3. 最終的な答え

(イ) $\sqrt{57}$ cm

(ウ) 5√21 cm