台形ABCDが円に内接しており、$AD=4$, $BC=12$, $\angle D = 90^\circ$である。内接円の半径を$r$とするとき、(1) $AS$, $DC$, $AB$の長さを$r$を用いて表し、(2) 内接円の半径$r$の値を求める。

1. 問題の内容

台形ABCDが円に内接しており、$AD=4$, $BC=12$, $\angle D = 90^\circ$である。内接円の半径を$r$とするとき、(1) $AS$, $DC$, $AB$の長さを$r$を用いて表し、(2) 内接円の半径$r$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Aから円への接線はASとAPであり、点Bから円への接線はBPとBQであり、点Cから円への接線はCRとCQであり、点Dから円への接線はDRとDSである。

接線の長さは等しいので、$AS=AP$, $BP=BQ$, $CR=CQ$, $DR=DS$である。

また、$AS = AP$, $DR=DS$なので、$AD = AS + DS = AS + DR = 4$

同様に、$BC = BQ + CQ = BP + CR = 12$

$AS = x$とおくと、$DS = AD - AS = 4 - x$。

$AP = AS = x$より、$BP = AB - AP = AB - x$。

$BQ = BP = AB - x$より、$CQ = BC - BQ = 12 - (AB - x) = 12 - AB + x$。

$CR = CQ = 12 - AB + x$より、$DR = DC - CR$。

$DC = DR + RC = DC- (12-AB+X)=4-x$

$DS= 4-x$であり、$CR=12-AB+x$.

$AB = \sqrt{12^2-4^2} = 8$

$AD \perp DC$なので、四角形SDROは正方形であり、$DS = DR = r$.

$DC = 2r$.

$AS = AP$, $BC=12$より、$AD=4$なので、$AD+BC= AB+CD$。

$4+12=AB+2r$

$AB=\sqrt{(12-4)^2+(2r)^2} = \sqrt{64+4r^2}$

$AS = AD-r= 4-r$

$DC = 2r$

$4+12 = \sqrt{64+4r^2}+2r$

$16-2r = \sqrt{64+4r^2}$

$(16-2r)^2=64+4r^2$

$256 - 64r + 4r^2 = 64+4r^2$

$192 = 64r$

$r=3$

よって、$AS=4-r$より、$AS=4-3=1$.

$DC=2r=2*3=6$.

$AB = 16-2r=16-2(3)=10$.

(2)

$r=3$

3. 最終的な答え

(1) $AS = 1$, $DC = 6$, $AB = 10$

(2) $r = 3$