$EB = 1$ cm, $BD = 2$ cm, $BC = DC$, $\angle EBD = \angle ADC = 90^\circ$ のとき、三角形$AEB$の面積は三角形$ADC$の面積の何倍か。

1. 問題の内容

$EB = 1$ cm, $BD = 2$ cm, $BC = DC$, $\angle EBD = \angle ADC = 90^\circ$ のとき、三角形$AEB$の面積は三角形$ADC$の面積の何倍か。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件から、三角形$EBD$と三角形$ADC$が相似であることを示します。

$\angle EBD = \angle ADC = 90^\circ$

$BC = DC$ なので、$\triangle DBC$は二等辺三角形です。

$\angle DBC = \angle BDC$

$\triangle EBD$と$\triangle ADC$について、2つの角がそれぞれ等しいことから、$\triangle EBD \sim \triangle ADC$です。

相似比は、$\frac{EB}{AD} = \frac{BD}{DC}$となります。

$EB = 1$ cm, $BD = 2$ cm なので、$\frac{1}{AD} = \frac{2}{DC}$

$DC = 2AD$

また、$BC = DC$なので、$BC = 2AD$です。

$BD + DC = BC$であるので、$2 + DC = BC = DC$ となります。

しかし、$BC = DC$なので、$BD = 0$となり、$BD = 2$ cmと矛盾します。

$\triangle EBD \sim \triangle ADC$より、$EB : AD = BD : DC$

$1 : AD = 2 : DC$

$DC = 2AD$

$BC = DC$より、$BC = 2AD$

$\triangle ABC$において、$AD$を底辺とした時の高さは$CD = 2AD$と見なせる。

$\triangle ADC$において、$AD$を底辺とした時の高さは$DC= 2AD$

$\triangle EBD \sim \triangle ADC$より

$EB : AD = BD : DC = ED : AC$

$1 : AD = 2 : 2AD$

$ED : AC = 1 : AD$

$\angle EBD = \angle ADC = 90^\circ$なので、$\triangle EBD$と$\triangle ADC$は直角三角形です。

ここで、$AD$を$x$とすると、$DC=2x$、$BC=2x$です。

$\triangle ADC$の面積は、$\frac{1}{2} \times AD \times DC = \frac{1}{2} \times x \times 2x = x^2$

$AB$を延長した直線と、$ED$を延長した直線の交点を$F$とする。

$\angle EBD = 90^\circ$であり、$AD \perp DC$なので、$EB$と$AD$は平行ではない。

$\triangle EBD$の面積は$\frac{1}{2} \times EB \times BD = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$

$\frac{AEB}{ADC} = \frac{1}{4}$を証明する必要がある。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあるか、または条件が不足しているため、三角形$AEB$の面積が三角形$ADC$の面積の何倍かを一意に定めることはできません。現時点では、1/4がもっともらしい答えとなりますが、厳密な証明はできていません。