1. 問題の内容
点Oは三角形ABCの外心である。角xの大きさを求める。図において、角BACは20度、角ABCは30度である。
2. 解き方の手順
外心の性質として、外心から各頂点までの距離は等しい。つまり、OA = OB = OC である。
三角形OAB、三角形OBC、三角形OCAはそれぞれ二等辺三角形になる。
まず、角AOBの角度を求める。
三角形OABはOA = OBの二等辺三角形である。
角OAB = 角OBA = 30度。
よって、角AOB = 180度 - 30度 - 30度 = 120度。
次に、角BOCの角度を求める。
三角形OBCはOB = OCの二等辺三角形である。
角OBC = 角OCBとする。
角OBC + 角OCB + 角BOC = 180度。
ここで、角BAC = 20度なので、円周角の定理より、角BOC = 2 * 角BAC = 2 * 20度 = 40度。
よって、角OBC + 角OCB = 180度 - 40度 = 140度。
角OBC = 角OCB = 140度 / 2 = 70度。
角x（角OCA）を求める。
三角形OCAはOA = OCの二等辺三角形である。
角OAC = 角OCA = x とする。
角AOC + 角OAC + 角OCA = 180度。
角AOC = 360度 - 角AOB - 角BOC = 360度 - 120度 - 40度 = 200度。
よって、2x + 200度 = 180度 は成り立たない。
別のアプローチを試す。
三角形ABCにおいて、角ACB = 180度 - 角BAC - 角ABC = 180度 - 20度 - 30度 = 130度。
角ACB = 角OCB + 角OCA = 130度。
角OCB = 70度 なので、角OCA = 角x = 130度 - 70度 = 60度。
円周角の定理より、
角BOC = 2 * 角BAC = 2 * 20度 = 40度。
角AOB = 2 * 角ACB = 2 * (180 - 20 - 30) = 260度 (360 - 260 = 100)。
角AOC = 2 * 角ABC = 2 * 30 = 60度。
円周角の定理は使用しないことにする。
角OCA = xを求める。
角A = 20度、角B = 30度なので、角C = 180 - 20 - 30 = 130度。
三角形OBCは二等辺三角形なので、角OCB = (180 - 角BOC)/2。
角BOC = 2 * 角A = 40度 より、角OCB = (180 - 40)/2 = 70度。
角C = 角OCA + 角OCB より、130度 = x + 70度。
したがって、x = 130 - 70 = 60度。
3. 最終的な答え
60